Azərbaycanca
Беларускі
Dansk
Deutsch
Española
Français
Indonesia
Italiana
日本語
Қазақ
Lietuvos
Nederlands
Português
Русский
සිංහල
แบบไทย
Türkçe
Українська
中國人
United State
Afrikaans
Теорема Діріхле про прості числа в арифметичній прогресії — важлива теорема у аналітичній теорії чисел, вперше доведена німецьким математиком Йоганном Петером Густавом Лежен-Діріхле.
Твердження теореми
Нехай 
— цілі числа, і 
(тобто 
є взаємно простими).
Тоді існує нескінченна кількість простих чисел 
таких, що 
.
З цього випливає, що кожна нескінченна арифметична прогресія, перший член і різниця якої — натуральні взаємно прості числа, містить нескінченну кількість простих чисел.
Історія доведень
Теорема в даному формулюванні була доведена Діріхле аналітичними засобами у 1837 році. Надалі були знайдені доведення теореми елементарними методами. Різні такі доведення знайшли Мертенс, Сельберг і Цассенхаус.
Приклади
Нижче подані приклади кількох арифметичних прогресій і найменших простих чисел у цих прогресіях
| Арифметична прогресія | 10 найменших простих чисел | Послідовність у OEIS |
|---|---|---|
| 2n + 1 | 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, … | послідовність A065091 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS |
| 4n + 1 | 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, … | послідовність A002144 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS |
| 4n + 3 | 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, … | послідовність A002145 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS |
| 6n + 1 | 7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, … | послідовність A002476 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS |
| 6n + 5 | 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, … | послідовність A007528 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS |
| 8n + 1 | 17, 41, 73, 89, 97, 113, 137, 193, 233, 241, … | послідовність A007519 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS |
| 8n + 3 | 3, 11, 19, 43, 59, 67, 83, 107, 131, 139, … | послідовність A007520 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS |
| 8n + 5 | 5, 13, 29, 37, 53, 61, 101, 109, 149, 157, … | послідовність A007521 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS |
| 8n + 7 | 7, 23, 31, 47, 71, 79, 103, 127, 151, 167, … | послідовність A007522 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS |
| 10n + 1 | 11, 31, 41, 61, 71, 101, 131, 151, 181, 191, … | послідовність A030430 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS |
| 10n + 3 | 3, 13, 23, 43, 53, 73, 83, 103, 113, 163, … | послідовність A030431 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS |
| 10n + 7 | 7, 17, 37, 47, 67, 97, 107, 127, 137, 157, … | послідовність A030432 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS |
| 10n + 9 | 19, 29, 59, 79, 89, 109, 139, 149, 179, 199, … | послідовність A030433 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS |
| 12n + 1 | 13, 37, 61, 73, 97, 109, 157, 181, 193, 229, … | послідовність A068228 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS |
| 12n + 5 | 5, 17, 29, 41, 53, 89, 101, 113, 137, 149, … | послідовність A040117 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS |
| 12n + 7 | 7, 19, 31, 43, 67, 79, 103, 127, 139, 151, … | послідовність A068229 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS |
| 12n + 11 | 11, 23, 47, 59, 71, 83, 107, 131, 167, 179, … | послідовність A068231 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS |
Варіації
При розгляді простих досить часто виявляється, що їх множина має багато властивостей множини всіх простих чисел. Існує чимало теорем і гіпотез, що розглядають тільки прості числа з певного класу лишків або співвідношення множин простих чисел з різних класів лишків.
Наприклад, крім основного твердження теореми Діріхле довів у 1839 році, що для будь-яких фіксованих натуральних взаємно простих чисел 
і 
:
де сума є по всіх простих числах з умовою , а 
— функція Ейлера.
Це співвідношення можна інтерпретувати як закон рівномірного розподілу простих чисел за класами лишків 
, оскільки
якщо сума є по всіх простих числах.
Відомо, що для будь-яких взаємно простих чисел і ряд 
, де сума є по простих є розбіжним.
Примітки
- Ю. В. Линник, А. О. Гельфанд. Элементарные методы в аналитической теории чисел. — Физматгиз, +1962.
Див. також
Література
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Teorema Dirihle pro prosti chisla v arifmetichnij progresiyi vazhliva teorema u analitichnij teoriyi chisel vpershe dovedena nimeckim matematikom Jogannom Peterom Gustavom Lezhen Dirihle Tverdzhennya teoremiNehaj l k gt 0 displaystyle l k gt 0 cili chisla i l k 1 displaystyle l k 1 tobto l k displaystyle l k ye vzayemno prostimi Todi isnuye neskinchenna kilkist prostih chisel p displaystyle p takih sho p l mod k displaystyle p equiv l pmod k Z cogo viplivaye sho kozhna neskinchenna arifmetichna progresiya pershij chlen i riznicya yakoyi naturalni vzayemno prosti chisla mistit neskinchennu kilkist prostih chisel Istoriya dovedenTeorema v danomu formulyuvanni bula dovedena Dirihle analitichnimi zasobami u 1837 roci Nadali buli znajdeni dovedennya teoremi elementarnimi metodami Rizni taki dovedennya znajshli Mertens Selberg i Cassenhaus PrikladiNizhche podani prikladi kilkoh arifmetichnih progresij i najmenshih prostih chisel u cih progresiyah Arifmetichna progresiya 10 najmenshih prostih chisel Poslidovnist u OEIS 2n 1 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 poslidovnist A065091 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS 4n 1 5 13 17 29 37 41 53 61 73 89 poslidovnist A002144 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS 4n 3 3 7 11 19 23 31 43 47 59 67 poslidovnist A002145 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS 6n 1 7 13 19 31 37 43 61 67 73 79 poslidovnist A002476 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS 6n 5 5 11 17 23 29 41 47 53 59 71 poslidovnist A007528 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS 8n 1 17 41 73 89 97 113 137 193 233 241 poslidovnist A007519 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS 8n 3 3 11 19 43 59 67 83 107 131 139 poslidovnist A007520 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS 8n 5 5 13 29 37 53 61 101 109 149 157 poslidovnist A007521 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS 8n 7 7 23 31 47 71 79 103 127 151 167 poslidovnist A007522 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS 10n 1 11 31 41 61 71 101 131 151 181 191 poslidovnist A030430 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS 10n 3 3 13 23 43 53 73 83 103 113 163 poslidovnist A030431 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS 10n 7 7 17 37 47 67 97 107 127 137 157 poslidovnist A030432 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS 10n 9 19 29 59 79 89 109 139 149 179 199 poslidovnist A030433 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS 12n 1 13 37 61 73 97 109 157 181 193 229 poslidovnist A068228 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS 12n 5 5 17 29 41 53 89 101 113 137 149 poslidovnist A040117 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS 12n 7 7 19 31 43 67 79 103 127 139 151 poslidovnist A068229 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS 12n 11 11 23 47 59 71 83 107 131 167 179 poslidovnist A068231 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEISVariaciyiPri rozglyadi prostih p l mod k displaystyle p equiv l pmod k dosit chasto viyavlyayetsya sho yih mnozhina maye bagato vlastivostej mnozhini vsih prostih chisel Isnuye chimalo teorem i gipotez sho rozglyadayut tilki prosti chisla z pevnogo klasu lishkiv abo spivvidnoshennya mnozhin prostih chisel z riznih klasiv lishkiv Napriklad krim osnovnogo tverdzhennya teoremi Dirihle doviv u 1839 roci sho dlya bud yakih fiksovanih naturalnih vzayemno prostih chisel l displaystyle l i k displaystyle k lim s 1 p 1 p s ln 1 s 1 1 f k displaystyle lim s to 1 frac sum limits p dfrac 1 p s ln dfrac 1 s 1 frac 1 varphi k de suma ye po vsih prostih chislah p displaystyle p z umovoyu p l mod k displaystyle p equiv l pmod k a f displaystyle varphi funkciya Ejlera Ce spivvidnoshennya mozhna interpretuvati yak zakon rivnomirnogo rozpodilu prostih chisel za klasami lishkiv mod k displaystyle mod k oskilki lim s 1 p 1 p s ln 1 s 1 1 displaystyle lim s to 1 dfrac sum limits p dfrac 1 p s ln dfrac 1 s 1 1 yaksho suma ye po vsih prostih chislah Vidomo sho dlya bud yakih vzayemno prostih chisel l displaystyle l i k displaystyle k ryad p 1 p displaystyle sum limits p frac 1 p de suma ye po prostih p l mod k displaystyle p equiv l pmod k ye rozbizhnim PrimitkiYu V Linnik A O Gelfand Elementarnye metody v analiticheskoj teorii chisel Fizmatgiz 1962 Div takozhHarakter DirihleLiteraturaTom M Apostol Introduction to Analytic Number Theory Springer 1976 ISBN 978 0 387 90163 3 Chandrasekharan K Vvedenie v analiticheskuyu teoriyu chisel Moskva Mir 1974 187 s ros