Теорія Фредгольма — розділ теорії інтегральних рівнянь; у вузькому сенсі — вивчає інтегральні рівняння Фредгольма, у широкому — абстрактна структура теорії дається в термінах спектральної теорії фредгольмових операторів і фредгольмових ядер у гільбертовому просторі.
Названо на честь основного розробника — шведського математика Еріка Івара Фредгольма.
Однорідні рівняння
Більша частина теорії Фредгольма стосується знаходження розв'язків інтегрального рівняння:
- .
Це рівняння природно виникає у багатьох задачах фізики та математики, як обернення диференціального рівняння. Тобто ставиться задача розв'язати диференціальне рівняння:
- ,
де функція — задана, а — невідома. Тут — лінійний диференціальний оператор. Наприклад, можна взяти за еліптичний оператор:
- ,
у такому разі розв'язуване рівняння стає рівнянням Пуассона. Загальний метод розв'язання таких рівнянь полягає в тому, щоб у вигляді функцій Гріна, тобто, не діючи безпосередньо, спробувати розв'язати рівняння:
- ,
де — дельта-функція Дірака. Далі:
- .
Цей інтеграл написаний у формі інтегрального рівняння Фредгольма. Функція відома як функція Гріна, або ядро інтеграла.
У загальній теорії, і можуть належати будь-якому многовиду; у найпростіших випадках — дійсній прямій або -вимірному евклідовому простору. Загальна теорія також часто вимагає, щоб функції належали до заданого функціонального простору: часто, простору [en] або простору Соболєва.
Фактично використовуваний функціональний простір часто визначається в розв'язанні задачі на власні значення диференціального оператора; тобто за розв'язками:
- ,
де — власні значення, а — власні вектори. Множина власних векторів утворює банахів простір, а там, де існує природний скалярний добуток, то й гільбертів простір, у якому має місце теорема Ріса. Прикладами таких просторів є ортогональні многочлени, які зустрічаються у вигляді розв'язків класу звичайних диференціальних рівнянь другого порядку.
Якщо задати гільбертів простір, то ядро можна записати у формі:
- ,
де — двоїстий до . У такій формі об'єкт часто називають оператором Фредгольма або ядром Фредгольма. Те, що це те саме ядро, випливає з повноти базису гільбертового простору, а саме:
- .
Оскільки зазвичай зростає, то власні значення оператора спадають до нуля.
Неоднорідні рівняння
Неоднорідне інтегральне рівняння Фредгольма:
можна написати формально як:
- .
Тоді формальний розв'язок:
- .
Розв'язок у цій формі відомий як резольвентний формалізм, де резольвенту визначено як оператор
- .
Заданого набору власних векторів та власних значень можна зіставити резольвенту конкретного вигляду:
з розв'язком:
- .
Необхідна і достатня умова існування такого розв'язку — одна з [en]. Резольвента зазвичай розкладається в ряд за степенями , у такому разі вона відома як ряд Ліувілля — Неймана. Тоді інтегральне рівняння записується як:
Резольвента записується в альтернативній формі:
- .
Визначник Фредгольма
Визначник Фредгольма зазвичай визначають як:
- ,
де , і так далі. Відповідна дзета-функція:
Дзета-функцію можна розглядати як визначник резольвенти. Дзета-функція відіграє важливу роль у вивченні динамічних систем; це той самий загальний тип дзета-функції, як і дзета-функція Рімана, проте в разі теорії Фредгольма відповідне ядро невідоме. Існування цього ядра відоме як [en].
Основні результати
Класичні результати цієї теорії — це , одна з яких — альтернатива Фредгольма.
Одним із важливих результатів загальної теорії є те, що вказане ядро — це компактний оператор, де простір функцій — це простір рівностепенево неперервних функцій.
Визначним спорідненим результатом є , що стосується індексу еліптичних операторів на .
Історія
Стаття Фредгольма в [en] — одна з найважливіших віх у створенні теорії операторів. Давид Гільберт розвинув поняття гільбертового простору, зокрема у зв'язку з дослідженням інтегральних рівнянь Фредгольма.
Посилання
- E. I. Fredholm, «Sur une classe d'equations fonctionnelles», Acta Mathematica, 27 (1903) pp. 365—390.
- D. E. Edmunds and WD Evans (1987), Spectral theory and differential operators, Oxford University Press . .
- B. V. Kvedelidze, G. L. Літвінов (2001), «Фредолм кернел», в Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers,
- Bruce K. Driver, Compact and Fredholm Operators and Spectral Theorem, Analysis Tools with Applications, Chapter 35, pp. 579—600.
- Robert C. McOwen, " Fredholm theory of partial differential equations on complete Riemannian manifolds ", Pacific J. Math. 87, no. 1 (1980), 169—185.
Література
- Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — М. : Наука, 1961. — 436 с.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Teoriya Fredgolma rozdil teoriyi integralnih rivnyan u vuzkomu sensi vivchaye integralni rivnyannya Fredgolma u shirokomu abstraktna struktura teoriyi dayetsya v terminah spektralnoyi teoriyi fredgolmovih operatoriv i fredgolmovih yader u gilbertovomu prostori Nazvano na chest osnovnogo rozrobnika shvedskogo matematika Erika Ivara Fredgolma Odnoridni rivnyannyaBilsha chastina teoriyi Fredgolma stosuyetsya znahodzhennya rozv yazkiv integralnogo rivnyannya g x a b K x y f y d y displaystyle g x int a b K x y f y dy Ce rivnyannya prirodno vinikaye u bagatoh zadachah fiziki ta matematiki yak obernennya diferencialnogo rivnyannya Tobto stavitsya zadacha rozv yazati diferencialne rivnyannya L g x f x displaystyle Lg x f x de funkciya f displaystyle f zadana a g displaystyle g nevidoma Tut L displaystyle L linijnij diferencialnij operator Napriklad mozhna vzyati za L displaystyle L eliptichnij operator L d 2 d x 2 displaystyle L frac d 2 dx 2 u takomu razi rozv yazuvane rivnyannya staye rivnyannyam Puassona Zagalnij metod rozv yazannya takih rivnyan polyagaye v tomu shob u viglyadi funkcij Grina tobto ne diyuchi bezposeredno sprobuvati rozv yazati rivnyannya L K x y d x y displaystyle LK x y delta x y de d x displaystyle delta x delta funkciya Diraka Dali g x K x y f y d y displaystyle g x int K x y f y dy Cej integral napisanij u formi integralnogo rivnyannya Fredgolma Funkciya K x y displaystyle K x y vidoma yak funkciya Grina abo yadro integrala U zagalnij teoriyi x displaystyle x i y displaystyle y mozhut nalezhati bud yakomu mnogovidu u najprostishih vipadkah dijsnij pryamij abo m displaystyle m vimirnomu evklidovomu prostoru Zagalna teoriya takozh chasto vimagaye shob funkciyi nalezhali do zadanogo funkcionalnogo prostoru chasto prostoru en abo prostoru Sobolyeva Faktichno vikoristovuvanij funkcionalnij prostir chasto viznachayetsya v rozv yazanni zadachi na vlasni znachennya diferencialnogo operatora tobto za rozv yazkami L ps n x w n ps n x displaystyle L psi n x omega n psi n x de w n displaystyle omega n vlasni znachennya a ps n x displaystyle psi n x vlasni vektori Mnozhina vlasnih vektoriv utvoryuye banahiv prostir a tam de isnuye prirodnij skalyarnij dobutok to j gilbertiv prostir u yakomu maye misce teorema Risa Prikladami takih prostoriv ye ortogonalni mnogochleni yaki zustrichayutsya u viglyadi rozv yazkiv klasu zvichajnih diferencialnih rivnyan drugogo poryadku Yaksho zadati gilbertiv prostir to yadro mozhna zapisati u formi K x y n ps n x ps n y w n displaystyle K x y sum n frac psi n x psi n y omega n de ps n displaystyle psi n dvoyistij do ps n displaystyle psi n U takij formi ob yekt K x y displaystyle K x y chasto nazivayut operatorom Fredgolma abo yadrom Fredgolma Te sho ce te same yadro viplivaye z povnoti bazisu gilbertovogo prostoru a same d x y n ps n x ps n y displaystyle delta x y sum n psi n x psi n y Oskilki w n displaystyle omega n zazvichaj zrostaye to vlasni znachennya operatora K x y displaystyle K x y spadayut do nulya Neodnoridni rivnyannyaNeodnoridne integralne rivnyannya Fredgolma f x w ϕ x K x y ϕ y d y displaystyle f x omega phi x int K x y phi y dy mozhna napisati formalno yak f K w ϕ displaystyle f K omega phi Todi formalnij rozv yazok ϕ 1 K w f displaystyle phi frac 1 K omega f Rozv yazok u cij formi vidomij yak rezolventnij formalizm de rezolventu viznacheno yak operator R w 1 K w I displaystyle R omega frac 1 K omega I Zadanogo naboru vlasnih vektoriv ta vlasnih znachen K displaystyle K mozhna zistaviti rezolventu konkretnogo viglyadu R w x y n ps n y ps n x w n w displaystyle R omega x y sum n frac psi n y psi n x omega n omega z rozv yazkom ϕ x R w x y f y d y displaystyle phi x int R omega x y f y dy Neobhidna i dostatnya umova isnuvannya takogo rozv yazku odna z en Rezolventa zazvichaj rozkladayetsya v ryad za stepenyami l 1 w displaystyle lambda 1 omega u takomu razi vona vidoma yak ryad Liuvillya Nejmana Todi integralne rivnyannya zapisuyetsya yak g x ϕ x l K x y ϕ y d y displaystyle g x phi x lambda int K x y phi y dy Rezolventa zapisuyetsya v alternativnij formi R l 1 I l K displaystyle R lambda frac 1 I lambda K Viznachnik FredgolmaViznachnik Fredgolma zazvichaj viznachayut yak det I l K exp n l n n Tr K n displaystyle det I lambda K exp left sum n frac lambda n n operatorname Tr K n right de Tr K K x x d x displaystyle operatorname Tr K int K x x dx Tr K 2 K x y K y x d x d y displaystyle operatorname Tr K 2 iint K x y K y x dx dy i tak dali Vidpovidna dzeta funkciya z s 1 det I s K displaystyle zeta s frac 1 det I sK Dzeta funkciyu mozhna rozglyadati yak viznachnik rezolventi Dzeta funkciya vidigraye vazhlivu rol u vivchenni dinamichnih sistem ce toj samij zagalnij tip dzeta funkciyi yak i dzeta funkciya Rimana prote v razi teoriyi Fredgolma vidpovidne yadro nevidome Isnuvannya cogo yadra vidome yak en Osnovni rezultatiKlasichni rezultati ciyeyi teoriyi ce odna z yakih alternativa Fredgolma Odnim iz vazhlivih rezultativ zagalnoyi teoriyi ye te sho vkazane yadro ce kompaktnij operator de prostir funkcij ce prostir rivnostepenevo neperervnih funkcij Viznachnim sporidnenim rezultatom ye sho stosuyetsya indeksu eliptichnih operatoriv na IstoriyaStattya Fredgolma v en odna z najvazhlivishih vih u stvorenni teoriyi operatoriv David Gilbert rozvinuv ponyattya gilbertovogo prostoru zokrema u zv yazku z doslidzhennyam integralnih rivnyan Fredgolma PosilannyaE I Fredholm Sur une classe d equations fonctionnelles Acta Mathematica 27 1903 pp 365 390 D E Edmunds and WD Evans 1987 Spectral theory and differential operators Oxford University Press ISBN 0 19 853542 2 B V Kvedelidze G L Litvinov 2001 Fredolm kernel v Hazewinkel Michiel Encyclopaedia of Mathematics Kluwer Academic Publishers ISBN 978 1 55608 010 4 Bruce K Driver Compact and Fredholm Operators and Spectral Theorem Analysis Tools with Applications Chapter 35 pp 579 600 Robert C McOwen Fredholm theory of partial differential equations on complete Riemannian manifolds Pacific J Math 87 no 1 1980 169 185 LiteraturaShilov G E Matematicheskij analiz Specialnyj kurs M Nauka 1961 436 s