Дихотомі́я, також парадо́кс по́ділу — одна із апорій Зенона Елейського, сформована в античні часи:
Щоб пройти шлях, потрібно спочатку пройти половину шляху, а щоб пройти половину шляху, потрібно спочатку пройти половину половини, і так до безкінечності.
Це очевидне протиріччя, в якому потрібно показати, що рух в реальності неможливий. Він тісно пов'язаний з парадоксом Ахіллеса і черепахи.
Точне формулювання
Приклад, який спростовує існування руху, наступний: Зенон стоїть на відстані восьми метрів від дерева, тримаючи в руках камінь. Він кидає камінь у напрямку дерева. Перш ніж камінь долетить до дерева, він має подолати першу половину з восьми метрів. Щоб подолати цю відстань, камінцю потрібен певний час, не нульовий. Потім йому потрібно пройти ще чотири метри, з яких він долає половину, два метри, що також займає певний час. Потім камінь просувається ще на метр, потім на пів метра, потім на чверть метра і так до нескінченності, щоразу витрачаючи ненульовий час. Зенон робить висновок, що камінь не може влучити в дерево, бо для цього він мав би пройти нескінченну низку етапів, що неможливо.
Розв'язання
Зауважимо, що час, за який камінь подолав половину відстані, що відділяє його від дерева, час, необхідний для подолання половини відстані, що залишилася, і т.д. Загальна тривалість шляху дорівнює сумі тривалостей частин шляху, тобто Зенон вважав, що ця сума обов'язково нескінченна, звідси й парадокс. Однак ми знаємо, що ця загальна тривалість не є нескінченною, оскільки камінчик досягає дерева. Тому здається, що ряд із загальним членом збігається. Це ми й пропонуємо продемонструвати, припустивши, що швидкість камінчика є сталою.
Оскільки швидкість постійна, то маємо , і в більш загальному вигляді
Таким чином, послідовність є геометричною, з якої отримуємо Таким чином, часткові суми мають простий вираз
Звідси випливає, що збігається, і що Таким чином, камінь здійснює нескінченну кількість подорожей за скінченний час, який дорівнює a , Зауважимо, що вдвічі більше, ніж час, за який камінчик пройшов першу половину відстані.
В літературі та мистецтві
Апорія «Дихотомія» лежить в основі сюжету фантастичної розповіді Філіпа Діка «Про невтомну жабу».
Див. також
Посилання
- Хазарзар Руслан. Апории Зенона [ 19 червня 2011 у Wayback Machine.].(рос.)
- Апории Зенона [ 28 червня 2011 у Wayback Machine.] на warrax.net.(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Dihotomiya znachennya Dihotomi ya takozh parado ks po dilu odna iz aporij Zenona Elejskogo sformovana v antichni chasi Shob projti shlyah potribno spochatku projti polovinu shlyahu a shob projti polovinu shlyahu potribno spochatku projti polovinu polovini i tak do bezkinechnosti Ce ochevidne protirichchya v yakomu potribno pokazati sho ruh v realnosti nemozhlivij Vin tisno pov yazanij z paradoksom Ahillesa i cherepahi Tochne formulyuvannyaPriklad yakij sprostovuye isnuvannya ruhu nastupnij Zenon stoyit na vidstani vosmi metriv vid dereva trimayuchi v rukah kamin Vin kidaye kamin u napryamku dereva Persh nizh kamin doletit do dereva vin maye podolati pershu polovinu z vosmi metriv Shob podolati cyu vidstan kamincyu potriben pevnij chas ne nulovij Potim jomu potribno projti she chotiri metri z yakih vin dolaye polovinu dva metri sho takozh zajmaye pevnij chas Potim kamin prosuvayetsya she na metr potim na piv metra potim na chvert metra i tak do neskinchennosti shorazu vitrachayuchi nenulovij chas Zenon robit visnovok sho kamin ne mozhe vluchiti v derevo bo dlya cogo vin mav bi projti neskinchennu nizku etapiv sho nemozhlivo Rozv yazannyaZauvazhimo sho t0 displaystyle t 0 chas za yakij kamin podolav polovinu vidstani sho viddilyaye jogo vid dereva t1 displaystyle t 1 chas neobhidnij dlya podolannya polovini vidstani sho zalishilasya i t d Zagalna trivalist shlyahu dorivnyuye sumi trivalostej chastin shlyahu tobto t0 t1 tn displaystyle t 0 t 1 t n Zenon vvazhav sho cya suma obov yazkovo neskinchenna zvidsi j paradoks Odnak mi znayemo sho cya zagalna trivalist ne ye neskinchennoyu oskilki kaminchik dosyagaye dereva Tomu zdayetsya sho ryad iz zagalnim chlenom tn displaystyle t n zbigayetsya Ce mi j proponuyemo prodemonstruvati pripustivshi sho shvidkist kaminchika ye staloyu Oskilki shvidkist postijna to mayemo t1 t0 2 displaystyle t 1 t 0 2 t2 t1 2 displaystyle t 2 t 1 2 i v bilsh zagalnomu viglyadi n N displaystyle forall n in mathbb N tn 1 tn2 displaystyle t n 1 frac t n 2 Takim chinom poslidovnist tn n N displaystyle t n n in mathbb N ye geometrichnoyu z yakoyi otrimuyemo n N displaystyle forall n in mathbb N tn t02n displaystyle t n frac t 0 2 n Takim chinom chastkovi sumi mayut prostij viraz n 0Ntn n 0Nt02n t01 1 2 N 11 1 2 displaystyle sum n 0 N t n sum n 0 N frac t 0 2 n t 0 frac 1 1 2 N 1 1 1 2 Zvidsi viplivaye sho tn displaystyle sum t n zbigayetsya i sho n 0 tn t011 1 2 2t0 displaystyle sum n 0 infty t n t 0 frac 1 1 1 2 2t 0 Takim chinom kamin zdijsnyuye neskinchennu kilkist podorozhej za skinchennij chas yakij dorivnyuye a 2t0 displaystyle 2t 0 Zauvazhimo sho 2t0 displaystyle 2t 0 vdvichi bilshe nizh chas za yakij kaminchik projshov pershu polovinu vidstani V literaturi ta mistectviAporiya Dihotomiya lezhit v osnovi syuzhetu fantastichnoyi rozpovidi Filipa Dika Pro nevtomnu zhabu Div takozhAhilles i cherepaha Aporiyi ZenonaPosilannyaHazarzar Ruslan Aporii Zenona 19 chervnya 2011 u Wayback Machine ros Aporii Zenona 28 chervnya 2011 u Wayback Machine na warrax net ros