Імовірний інтервал

Імові́рний інтерва́л (англ. credible interval) у баєсовій статистиці — це інтервал в області визначення апостерірного розподілу ймовірності або ^[en], що застосовується для ^[en]. Його узагальненням для багатовимірних задач є імові́рний регіо́н (англ. credible region). Імовірні інтервали аналогічні довірчим інтервалам у частотній статистиці, хоча вони й різняться філософськими засадами; баєсові інтервали трактують свої межі як фіксовані, а оцінюваний параметр як випадкову змінну, тоді як частотні довірчі інтервали трактують свої межі як випадкові змінні, а параметр — як фіксовану величину.

Наприклад, в експерименті, що визначає розподіл невизначеності параметра ${\displaystyle t}$, якщо ймовірністю того, що ${\displaystyle t}$ лежить між 35 та 45, є 0.95, то ${\displaystyle 35\leq t\leq 45}$ є 95-відсотковим імовірним інтервалом.

Вибір імовірного інтервалу

Імовірні інтервали не є унікальними на апостеріорному розподілі. Методи визначення зручних імовірних інтервалів включають:

• Обрання найвужчого інтервалу, що для одномодового розподілу охопить значення із найбільшою густиною ймовірності, включно з модою. Його іноді називають інтерва́лом найви́щої апостеріо́рної густини́ (англ. highest posterior density interval).
• Обрання інтервалу, для якого ймовірність знаходження перед ним є настільки ж правдоподібною, як і знаходження після нього. Цей інтервал включатиме медіану. Його іноді називають рівнохво́стим інтерва́лом (англ. equal-tailed interval).
• За умови існування середнього значення, обрання інтервалу, для якого (середнє значення) є центральною точкою.

Є можливим сформулювати вибір імовірного інтервалу в теорії рішень, і в цьому контексті оптимальний інтервал завжди буде множиною найбільшої густини ймовірності.

Відмінності від довірчого інтервалу

Частотний 95-відсотковий довірчий інтервал (англ. confidence interval) означає, що при великій кількості повторюваних проб 95% обчислюваних таким чином довірчих інтервалів включатимуть істинне значення параметра. Ймовірність того, що параметр знаходиться всередині заданого інтервалу (скажімо, 35—45), є або 0, або 1 (не випадковий невідомий параметр є або там, або ні). Із частотної точки зору параметр є фіксованим (не може розглядатися як такий, що має розподіл можливих значень), а довірчий інтервал є випадковим (оскільки він залежить від випадкової вибірки). Антельман (1997, С. 375) резюмує, що [95-відсотковий] довірчий інтервал це «… один інтервал, що згенеровано процедурою, яка даватиме правильні інтервали в 95% випадків».

У загальному випадку баєсові ймовірні інтервали не приймають однакового значення з частотними довірчими інтервалами, з двох причин:

• імовірні інтервали включають контексту інформацію з апріорного розподілу, що враховує характерні особливості задачі, тоді як довірчі інтервали ґрунтуються лише на даних;
• імовірні інтервали та довірчі інтервали трактують ^[en] докорінно відмінними шляхами.

У випадку єдиного параметра, та даних, що може бути зведено до єдиної достатньої статистики, може бути показано, що імовірні інтервали та довірчі інтервали дійсно прийматимуть однакове значення, якщо невідомий параметр є коефіцієнтом зсуву (тобто послідовна функція ймовірності має вигляд ${\displaystyle \mathrm {Pr} (x|\mu )=f(x-\mu )}$ ) з апріорним, що є рівномірним пласким розподілом; а також якщо невідомий параметр є коефіцієнтом масштабу (тобто послідовна функція ймовірності має вигляд ${\displaystyle \mathrm {Pr} (x|s)=f(x/s)}$ ) з ^[en]${\displaystyle \mathrm {Pr} (s|I)\;\propto \;1/s}$ — крайнє з тієї причини, що взяття логарифма такого коефіцієнту масштабу перетворює його на коефіцієнт зсуву з рівномірним розподілом. Але ці випадки є виразно особливими (хоча й важливими); в цілому ж встановити таку еквівалентність неможливо.

Примітки

1. Edwards, Ward, Lindman, Harold, Savage, Leonard J. (1963) «Bayesian statistical inference in psychological research». Psychological Review, 70, 193–242 (англ.)
2. Lee, P.M. (1997) Bayesian Statistics: An Introduction, Arnold. (англ.)
3. . Архів оригіналу за 19 серпня 2015. Процитовано 1 вересня 2015. (англ.)
4. O'Hagan, A. (1994) Kendall's Advanced Theory of Statistics, Vol 2B, Bayesian Inference, Section 2.51. Arnold, (англ.)
5. Antelman, G. (1997) Elementary Bayesian Statistics (Madansky, A. & McCulloch, R. eds.). Cheltenham, UK: Edward Elgar (англ.)
6. Jaynes, E. T. (1976). «Confidence Intervals vs Bayesian Intervals [ 6 травня 2011 у Wayback Machine.]», in Foundations of Probability Theory, Statistical Inference, and Statistical Theories of Science, (W. L. Harper and C. A. Hooker, eds.), Dordrecht: D. Reidel, pp. 175 et seq (англ.)