Еліпсограф

Еліпсо́граф або еліпсограф Архімеда — це механізм, що перетворює вертально-поступний рух в рух по еліпсу. Історія цього механізму точно не визначена, але вважається, що еліпсографи існували ще у часи Діадоха чи навіть у часи Архімеда.

Кінематика еліпсографа

3D-модель еліпсографа у дії

Будова

Він складається з двох повзунів, що можуть рухатися по двох взаємно перпендикулярних канавках чи напрямних. Повзуни прикріплені до стрижня за допомогою шарнірів, і розташовані на фіксованій відстані один від одного уздовж стрижня. Повзуни рухаються лінійно — кожен своєю канавкою, — і при цьому кінець стрижня описує еліпс на площині. Півосі еліпса a і b є відстанями від кінця стрижня до шарнірів кріплення повзунів. Зазвичай відстані a і b можна змінювати, і тим самим змінювати форму і розміри еліпса, що описується.

Використання

Такий механізм застосовується як креслярський інструмент, як напрямний механізм для різального інструменті також при розкрою листів матеріалу (скла, картону, фанери тощо), а також при фрезеруванні кругів та еліпсів ручною фрезерною машиною.

Математичний опис

Геометрична побудова до математичного опису еліпсографа

Нехай C — це кінець стрижня, і A, B — шарніри на повзунах. Нехай p і q — відстані від A до B, і від B до C, відповідно. Координатні осі y та x проведемо таким чином, що рух повзунів A і B буде відбуватись уздовж цих осей, відповідно. У випадку, коли стрижень утворює кут θ з віссю x, координати точки C визначаються рівняннями

${\displaystyle x=(p+q)\cos \theta \,}$

${\displaystyle y=q\sin \theta \,.}$

Це є рівняння еліпса у параметричній формі запису.

У загальнішому випадку напрямні, по яких рухаються повзуни, можуть розташовуватись під кутом, відмінним від прямого, а точки A, B і C можуть лежати не на прямій лінії. Результуюча траєкторія точки C залишиться еліпсом.

Див. також

• (Шарнірні механізми для побудови лемніскати Бернуллі).

Примітки

1. Schwartzman, Steven (1996). The Words of Mathematics. The Mathematical Association of America. ISBN . (restricted online copy, с. 223, на «Google Books»)
2. Wetzel, John E. (February 2010). An Ancient Elliptic Locus. American Mathematical Monthly. 117 (2): 161—167.

Література

• J. W. Downs Practical Conic Sections: The Geometric Properties of Ellipses, Parabolas and Hyperbolas. Courier Dover: 2003, — p. 4-5. ,

Посилання

• Викреслювання та вирізання еліпса на деревині [ 6 липня 2010 у Wayback Machine.] (англ.)
• Фото іграшки на основі еліпсографа [ 13 березня 2022 у Wayback Machine.]
• Відео [ 10 березня 2015 у Wayback Machine.] іграшки, створеної на основі конструктора «Lego»