Теорема відповідності (теорія груп)

Нехай ${\displaystyle N}$ це нормальна підгрупа ${\displaystyle G}$ і нехай ${\displaystyle H}$ буде підгрупою ${\displaystyle G}$, що містить ${\displaystyle N.}$ Тоді відображення

${\displaystyle \psi :\{}$підгрупи ${\displaystyle G,}$ що містять ${\displaystyle N\}\to \{}$підгрупи ${\displaystyle G/N\},H\mapsto \psi (H)=H/N}$ — бієкція.

Також, ${\displaystyle H}$ це нормальна підгрупа ${\displaystyle G}$ тоді й лише тоді, якщо ${\displaystyle H/N}$ це нормальна підгрупа ${\displaystyle G/N.}$

Доведення

Спочатку доведемо, що ${\displaystyle \psi }$ — це бієкція.

Ін'єктивність. Якщо ${\displaystyle H_{1}/N=H_{2}/N}$, тоді класи суміжності обох підгруп однакові, тобто для будь-якого ${\displaystyle h_{1}\in H_{1}}$ ми маємо ${\displaystyle h_{1}N=h_{2}N}$ для певного ${\displaystyle h_{2}\in H_{2},}$ з чого випливає, що ${\displaystyle h_{2}^{-1}h_{1}\in N\subset H_{2}}$, отже ${\displaystyle h_{1}\in H_{2},}$ що доводить, що ${\displaystyle H_{1}\subseteq H_{2}.}$ Проводячи такий самий аргумент у зворотному напрямку маємо, що ${\displaystyle H_{1}=H_{2}.}$

Сюр'єктивність. Нехай ${\displaystyle Q}$ буде підгрупою ${\displaystyle G/N}$ і нехай ${\displaystyle \pi :G\to G/N}$ буде канонічною проєкцією. Тоді,

${\displaystyle \pi ^{-1}(Q)=\{a\in G,aN\in Q\}.}$

Це підгрупа ${\displaystyle G,}$ що містить ${\displaystyle N}$ і

${\displaystyle \psi (\pi ^{-1}(Q))=\{aN,aN\in Q\}=Q.}$

Залишилось довести, що ${\displaystyle H\trianglelefteq G\iff H/N\trianglelefteq G/N.}$ Припустимо, що ${\displaystyle H\trianglelefteq G.}$ Для кожного ${\displaystyle a\in G,}$ нам потрібно показати, що

${\displaystyle (aN)(H/N)(aN)^{-1}=H/N.}$

Тепер для будь-якого ${\displaystyle hN\in H/N,}$ маємо

${\displaystyle (aN)(hN)(aN)^{-1}=(aha^{-1})N\in H/N}$

і це все, що нам треба. У зворотному напрямку, припустимо, що ${\displaystyle H/N\trianglelefteq G/N.}$ Розглянемо гомоморфізм

${\displaystyle a\mapsto (aN)(H/N),}$

який є композицією канонічної проєкції ${\displaystyle \pi :G\to G/N}$ і канонічної проєкції ${\displaystyle G/N}$ на ${\displaystyle (G/N)/(H/N)}$ (остання можлива оскільки ${\displaystyle H/N\trianglelefteq G/N).}$ Зараз ми хочемо показати, що ${\displaystyle H}$ це ядро цього відображення, що завершить доведення, оскільки ядро гомоморфізма є нормальним.

Елемент ${\displaystyle a}$ належить ядру тоді й лише тоді, коли ${\displaystyle (aN)(H/N)=H/N,}$ тобто тоді й лише тоді, коли ${\displaystyle aN\in H/N,}$ або ж ${\displaystyle aN=hN}$ для деякого ${\displaystyle h\in H.}$ Оскільки ${\displaystyle N}$ міститься в ${\displaystyle H,}$ це значить, що ${\displaystyle aN}$ також міститься в ${\displaystyle H,}$ а значить і ${\displaystyle a,}$ що ми й хотіли довести.

У теорії кілець

Якщо ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ це двосторонній ідеал кільця ${\displaystyle R,}$ тоді канонічне відображення

${\displaystyle \tau :R\to R/{\mathcal {I}}}$

встановлює відповідність один-до-одного між

• множиною підкілець ${\displaystyle R,}$ що містять ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ і множиною підкілець ${\displaystyle R/{\mathcal {I}},}$
• множиною ідеалів ${\displaystyle R,}$ що містять ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ і множиною всіх ідеалів ${\displaystyle R/{\mathcal {I}}.}$

Див. також

• Композиційний ряд

Джерела

• ^[en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — .(англ.)
• Теорема відповідності на ProofWiki (англ.)