Метод Гальоркіна

Метод Гальоркіна — чисельний метод розв'язання диференціальних рівнянь з граничними умовами. Диференціальні рівняння з граничними умовами у математичній фізиці називаються задачею математичної фізики.

Загальне формулювання

Нехай є диференціальне рівняння з деякими крайовими умовами (першого роду)

${\displaystyle {\hat {A}}[u(x)]=f(x)}$,${\displaystyle a\leq x\leq b}$, (1)

${\displaystyle u(a)=\alpha }$,${\displaystyle u(b)=\beta }$.

Наближений розв'язок шукаємо у вигляді наступної суми

${\displaystyle u(x)\approx y_{n}(x)=\phi _{0}(x)+\sum _{k=1}^{n}\phi _{k}(x)*\alpha _{k}}$, (2)

де

${\displaystyle \phi _{0}(x)}$ — деяка неперервна функція, що задовільняє крайові умови (1),

${\displaystyle \phi _{k}(x)}$, ${\displaystyle 1\leq k<\infty }$, якась система лінійно незалежних функцій, повна в класі неперервних функцій, що визначені на відрізку [a,b] і набувають нульових значень на його кінцях.

Якщо для функції ${\displaystyle u(x)}$ вираз ${\displaystyle {\hat {A}}[u(x)]-f(x)}$ є ортогональним до ${\displaystyle \phi _{k}(x)}$ при ${\displaystyle k\geq 1}$, то ${\displaystyle u(x)}$ — розв'язок задачі (1).

Якщо ортогональність є тільки при ${\displaystyle 1\leq k\leq n}$, то

${\displaystyle {\hat {A}}[u(x)]\approx f(x)}$.

Замість ${\displaystyle u(x)}$ будемо брати наближений розв'язок у формі (2) і будемо вимагати, щоб

${\displaystyle \int _{a}^{b}[{\hat {A}}[y_{n}(x)]-f(x)]\phi _{k}(x)\,dx=0,1\leq k\leq n.}$

Застосування до квантової механіки

Нехай є диференціальне рівняння на функцію u(x)-

${\displaystyle {\hat {H}}[u(x)]=Eu(x)}$

де H - оператор.

Саму функцію ${\displaystyle u(x)}$ представляють у вигляді суми -

${\displaystyle u(x)=\phi _{0}(x)+\sum _{i=1}^{N}\phi _{i}(x)\alpha _{i}}$.

Метод дає нам саме коефіцієнти ${\displaystyle \alpha _{i}}$.

Розглянемо функції ${\displaystyle \phi _{i}(x)}$ на [0,∞).

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\phi _{j}(x)*\phi _{i}(x)\,dx=b_{j,i}}$

Домножимо рівняння ${\displaystyle H[u(x)]=Eu(x)}$ на ${\displaystyle \phi _{j}(x)}$ і проінтегруємо, маємо -

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\phi _{j}(x)*{\hat {H}}[u(x)]\,dx=\int _{0}^{\infty }\phi _{j}(x)*E*u(x)\,dx}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\alpha _{i}\int _{0}^{\infty }\phi _{j}(x)*{\hat {H}}[\phi _{i}(x)]\,dx=\sum _{i=1}^{N}b_{j,i}*E\alpha _{i}}$.

Введемо наступне позначення -

${\displaystyle \phi _{j,i}=\int _{0}^{\infty }\phi _{j}(x)*{\hat {H}}[\phi _{i}(x)]\,dx}$.

Маємо систему лінійних рівнянь -

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\alpha _{i}[\phi _{j,i}-E*b_{j,i}]=0}$.

Яка розв'язується за умови -

${\displaystyle \det[\phi _{j,i}-E*b_{j,i}]=0,j=1,N}$.

Посилання

• MathWorld: Galerkin Method
• Н.Н.Каліткін "Численные методы" стор. 273