Теорема Александрова про опуклі многогранники

Теорема Александрова про опуклі многогранники — геометрична теорема про однозначність замкненого опуклого многогранника із заданими напрямами граней, доведена О. Д. Александровим у 1937 році. Зазвичай її формулюють так:

Теорема Александрова про опуклі многогранники: Якщо між гранями двох замкнутих опуклих многогранників в тривимірному евклідовому просторі встановлено взаємно-однозначна відповідність так, що (i) одиничні нормалі до відповідних граней збігаються і (ii) жодну з граней не можна вмістити всередині відповідної до неї грані паралельним перенесенням, то многогранники можна отримати один з іншого паралельним перенесенням (і, зокрема, вони конгруентні).

Вкажемо ще одне формулювання, як легко бачити, еквівалентне попередньому. В ній функція ${\displaystyle f(Q)}$ називається монотонною функцією багатокутника ${\displaystyle Q}$, якщо вона має властивість: ${\displaystyle f(Q_{1})>f(Q_{2})}$, якщо ${\displaystyle Q_{2}}$ можна вмістити всередині ${\displaystyle Q_{1}}$.

Теорема Александрова про опуклі многогранники: Нехай ${\displaystyle P_{1}}$ і ${\displaystyle P_{2}}$ — замкнені опуклі многогранники в тривимірному евклідовому просторі з гранями ${\displaystyle Q_{1}^{1},\dots ,Q_{1}^{n}}$ і ${\displaystyle Q_{2}^{1},\dots ,Q_{2}^{n}}$ відповідно, причому для будь-якого ${\displaystyle k=1,\dots ,n}$ виконані умови: (i) одиничні нормалі до граней ${\displaystyle Q_{1}^{k}}$ і ${\displaystyle Q_{2}^{k}}$ збігаються і (ii) існує монотонна функція ${\displaystyle f_{k}}$ така, що ${\displaystyle f_{k}(Q_{1}^{k})=f_{k}(Q_{2}^{k})}$. Тоді многогранники ${\displaystyle P_{1}}$ і ${\displaystyle P_{2}}$ отримуються один з іншого паралельним перенесенням (і, зокрема, вони конгруентні).

Коментарі

• Для тривимірного простору теорема Александрова про опуклі многогранники узагальнює теорему єдиності Мінковського, яка стверджує, що «два рівних многогранники з попарно паралельними й рівновеликими гранями рівні й паралельно розташовані». Справді, як монотонну функцію багатокутника ${\displaystyle f(Q)}$ тут досить узяти площу.
• Твердження, що отримується з теореми Александрова про опуклі многогранники, якщо в ній як монотонну функцію багатокутника ${\displaystyle f(Q)}$ взяти периметр, цікаве тим, що вже понад 70 років геометри не можуть знайти відповідної теореми існування.
• В евклідовому просторі вимірності 2 твердження, аналогічне теоремі Александрова про опуклі многогранники, істинне, але тривіальне.
• В евклідовому просторі вимірності 4 (і в усіх більш високих вимірностях) твердження, аналогічне теоремі Александрова про опуклі многогранники, хибне. Як контрприклад можна взяти чотиривимірний куб з ребром 2 і чотиривимірний прямокутний паралелепіпед з ребрами 1, 1, 3, 3.
• Про рівність багатовимірних опуклих многогранників при умові, що їхні паралельні двовимірні грані не вміщуються, див..

Див. також

• Список об'єктів, названих на честь Олександра Александрова

Примітки

1. А. Д. Александров, Элементарное доказательство теоремы Минковского и некоторых других теорем о выпуклых многогранниках, Известия АН СССР. Сер. мат. 1, № 4, 597—606 (1937).
2. Александров О. Д. Вибрані праці. — Новосибірськ : Наука, 2007. — Т. 2 (Опуклі багатограники). — С. iv + 492. — 700 прим. — .
3. Л. А. Люстерник, Выпуклые фигуры и многогранники. М.: ГИТТЛ, 1956.
4. А. И. Медяник, Одно обобщение теоремы единственности А. Д. Александрова для замкнутых выпуклых многогранников на случай ${\displaystyle n}$-мерного пространства, Укр. геом. сб. 8, 91—94 (1970).