Субдиференціал

У математиці, зокрема, в опуклому аналізі, поняття субдиференціалу та субградієнту є узагальненнями відповідних понять диференціалу та градієнту класичного аналізу.

Опукла функція (синя) та «лінії субградієнту» в x₀ (червоні).

Визначення

Нехай ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ — функція на евклідовому просторі ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ Вектор ${\displaystyle g\in \mathbb {R} ^{n}}$ називається субградієнтом функції ${\displaystyle f(x)}$ в точці ${\displaystyle {\bar {x}}\in \mathbb {R} ^{n},}$ якщо справджується нерівність

${\displaystyle g\in \mathbb {R} ^{n}:f(x)-f({\bar {x}})\geq g^{T}(x-{\bar {x}})\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{n}\}}$

Множина всіх субградієнтів називається субдиференціалом функції f(x) в точці ${\displaystyle {\bar {x}}}$ і позначається ${\displaystyle \partial f({\bar {x}})}$. Використовуючи математичну символіку можна записати визначення субдиференціалу:

${\displaystyle \partial f({\bar {x}})=\{g\in \mathbb {R} ^{n}:f(x)-f({\bar {x}})\geq g^{T}(x-{\bar {x}})\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{n}\}}$

Приклад

Для функції ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} :x\mapsto |x|}$ однієї дійсної змінної маємо:

${\displaystyle \partial f({\bar {x}})={\begin{cases}\{-1\}&{\bar {x}}<0\\\left[-1,1\right]&{\bar {x}}=0\\\{1\}&{\bar {x}}>0\end{cases}}}$

Властивості

• Опукла функція ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ є диференційовною в точці ${\displaystyle x_{0}}$ тоді і тільки тоді, коли субдиференційал функції ${\displaystyle f}$ в точці ${\displaystyle x_{0}}$ складається з єдиного числа. Це число і є похідною функції ${\displaystyle f}$ в точці ${\displaystyle x_{0}}$.
• Точка ${\displaystyle x_{0}}$ є точкою глобального мінімуму опуклої функції ${\displaystyle f}$ тоді і тільки тоді, коли нуль входить до її субдиференціалу, тобто коли на рисунку вище можна провести горизонтальну дотичну в точці ${\displaystyle x_{0}}$ до графіку функції ${\displaystyle f}$.
• Якщо ${\displaystyle f}$ і ${\displaystyle g}$ є опуклими функціями з субдиференціалами ${\displaystyle \partial f(x)}$ і ${\displaystyle \partial g(x)}$, то субдиференціалом функції ${\displaystyle f+g}$ є ${\displaystyle \partial (f+g)(x)=\partial f(x)\oplus \partial g(x)}$, де ${\displaystyle \oplus }$ позначає суму Мінковського.

Див. також

• Опукла функція

Джерела

• Моклячук М.П. Основи опуклого аналізу. К.:ТвіМС, 2004. – 240с.
• М.П.Моклячук, Негладкий аналіз та оптимізація
• J.M. Borwein, A.S. Lewis (2000). Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Springer, New York.