Закон Бенфорда

Закон Бенфорда або закон першої цифри (Закон Ньюкомба-Бенфорда) — статистичний закон, відповідно до якого перша цифра чисел із багатьох (але не всіх) типових джерел інформації у повсякденному житті вживається нерівномірно. Відповідно до цього закону, найчастіше першою цифрою чисел є одиниця, у той час, як наступні цифри з'являються в найвищому розряді все рідше й рідше.

Логарифмічна шкала. Випадкове число з координатою ${\displaystyle x}$ у близько 30 % випадків матиме першу цифру «1» (найширший проміжок кожного степеня десяти).

Розподіл Бенфорда

Закон існує тоді, коли логарифми множини чисел розподілені рівномірно, що наближено справджується для багатьох реальних показників. У чистому вигляді справдження цієї властивості означатиме, що цифра «1» стоїть на першій позиції у близько 30 % чисел, у той час, як «9» є першою в менш ніж одному з 21 випадків.

Закон використовується для визначення можливих фальсифікацій статистичної інформації, зокрема на виборах.

Згідно із законом Бенфорда, перша цифра ${\textstyle d}$ (${\textstyle d\in {1,...,b-1}}$) з основою ${\textstyle b}$ (${\textstyle b>2}$) трапляється з імовірністю

${\displaystyle P(d)=\log _{b}(d+1)-\log _{b}(d)=\log _{b}\left(1+{\frac {1}{d}}\right)}$

Для десяткової системи числення

d	${\displaystyle P(d)}$	Відносний розмір ${\displaystyle P(d)}$
1	30,1%	30.1
2	17,6%	17.6
3	12,5%	12.5
4	9,7%	9.7
5	7,9%	7.9
6	6,7%	6.7
7	5,8%	5.8
8	5,1%	5.1
9	4,6%	4.6

Приклади

Розподіл перших цифр (червоні стовпчики, %) у населеннях 237 країн світу. Чорними цятками позначено розподіл Бенфорда.

У списку висот 58 (найвищих будівель світу у своїй категорії) (станом на вересень 2010 р.) цифра «1» стоїть на першій позиції частіше ніж більшість інших цифр незалежно від одиниці вимірювання, у той час, як цифра «9» вживається чи не найрідше:

Перша цифра	Метри		Фути
	Кількість	Відсоток	Кількість	Відсоток
1	27	47,4 %	13	22,8 %
2	8	14,0 %	8	14,0 %
3	7	12,3 %	8	14,0 %
4	5	8,8 %	3	5,3 %
5	2	3,5 %	14	24,6 %
6	3	5,3 %	5	8,8 %
7	2	3,5 %	3	5,3 %
8	3	5,3 %	1	1,8 %
9	0	0,0 %	2	3,5 %

Див. також

• Френк Бенфорд

Джерела

• Arno Berger; Theodore P. Hill (2017). (PDF). Notices of the AMS. 64 (2): 132—134. doi:10.1090/noti1477. Архів оригіналу (PDF) за 24 лютого 2021. Процитовано 5 січня 2021.

Посилання

• ВИКОРИСТАННЯ ЗАКОНУ БЕНФОРДА (ЗАКОНУ ПЕРШОЇ ЦИФРИ, ЗАКОНУ АНОМАЛЬНИХ ВІДХИЛЕНЬ) ПІД ЧАС ПРОВЕДЕННЯ ФІНАНСОВОГО АУДИТУ [ 13 лютого 2020 у Wayback Machine.] 2019
• Закон Бенфорда определяет возможную фальсификацию на выборах — Еженедельник 2000, 23.05.2008^{[недоступне посилання з липня 2019]}