Коваріація та кореляція

Для ширшого висвітлення цієї теми, див. Коваріація і Кореляція

Математичні поняття коваріа́ції (англ. covariance) та кореля́ції (англ. correlation) у теорії ймовірностей та статистиці дуже схожі. Обидва описують ступінь, до якого дві випадкові величини або набори випадкових величин схильні відхилятися від своїх математичних сподівань подібним чином.

Якщо X та Y — дві випадкові величини з середніми значеннями (математичними сподіваннями) μ_X та μ_Y і стандартними відхиленнями σ_X та σ_Y відповідно, то їх коваріація та кореляція такі:

коваріація	${\displaystyle {\text{cov}}_{XY}=\sigma _{XY}=E[(X-\mu _{X})\,(Y-\mu _{Y})]}$
кореляція	${\displaystyle {\text{corr}}_{XY}=\rho _{XY}=E[(X-\mu _{X})\,(Y-\mu _{Y})]/(\sigma _{X}\sigma _{Y})}$,

тож

${\displaystyle \rho _{XY}=\sigma _{XY}/(\sigma _{X}\sigma _{Y})}$

де E — оператор математичного сподівання. Примітно, що кореляція безрозмірнісна, тоді як коваріація має одиниці, отримувані шляхом множення одиниць цих двох величин.

Якщо Y завжди набуває тих же значень, що й X, ми маємо коваріацію змінної з самою собою (тобто ${\displaystyle \sigma _{XX}}$), яку називають дисперсією й частіше позначують через ${\displaystyle \sigma _{X}^{2}}$, квадрат стандартного відхилення. Кореляція змінної з самою собою завжди 1 (крім виродженого випадку, коли ці дві дисперсії дорівнюють нулю, оскільки X завжди набуває одного й того ж єдиного значення, і в цьому випадку кореляції не існує, оскільки її обчислення включатиме ділення на 0). Загалом, кореляція між двома змінними дорівнює 1 (або −1), якщо одна з них завжди набуває значення, яке точно задається лінійною функцією іншої з відповідно додатним (або від'ємним) кутовим коефіцієнтом.

Хоча значення теоретичних коваріацій та кореляцій і пов’язано вищезазначеним чином, розподіли ймовірностей ^[en] цих величин жодним простим чином не пов’язано, і в загальному випадку їх потрібно розглядати окремо.

Декілька випадкових величин

За будь-якої кількості випадкових величин, що перевищує 1, ці величини можливо об’єднати у випадковий вектор, чий i-й елемент є i-ю випадковою величиною. Тоді дисперсії та коваріації можливо помістити до коваріаційної матриці, в якій елемент (i, j) є коваріацією між i-ю та j-ю випадковими величинами. Аналогічно, кореляції можливо помістити до кореляційної матриці.

Аналіз часових рядів

У випадку часового ряду, що є стаціонарним у широкому сенсі, як середні значення, так і дисперсії є сталими в часі (E(X_n+m) = E(X_n) = μ_X та var(X_n+m) = var(X_n), і так само для змінної Y). У цьому випадку взаємна коваріація та взаємна кореляція є функціями часової різниці:

взаємна коваріація	${\displaystyle \sigma _{XY}(m)=E[(X_{n}-\mu _{X})\,(Y_{n+m}-\mu _{Y})],}$
взаємна кореляція	${\displaystyle \rho _{XY}(m)=E[(X_{n}-\mu _{X})\,(Y_{n+m}-\mu _{Y})]/(\sigma _{X}\sigma _{Y}).}$

Якщо Y є тією же змінною, що й X, то наведені вище вирази називають автоковаріацією та автокореляцією:

автоковаріація	${\displaystyle \sigma _{XX}(m)=E[(X_{n}-\mu _{X})\,(X_{n+m}-\mu _{X})],}$
автокореляція	${\displaystyle \rho _{XX}(m)=E[(X_{n}-\mu _{X})\,(X_{n+m}-\mu _{X})]/(\sigma _{X}^{2}).}$

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)

Примітки

1. Weisstein, Eric W. Covariance(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
2. Weisstein, Eric W. Statistical Correlation(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.