Перетин множин

Запит «Перетин» перенаправляє сюди; див. також інші значення.

В математиці, зокрема в теорії множин, пере́тином^[] двох множин A і B називається множина, яка складається з усіх елементів множини A, які водночас належать і множині B та навпаки (всі елементи множини B, які належать A) і тільки них. Вона і позначається як "A∩B та є підмножиною обох.

Перетин множин
Досліджується в	теорія множин
Формула	${\displaystyle A\cap B=\{x\mid x\in A\land x\in B\}}$
Позначення у формулі	${\displaystyle A\cap B}$, ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$
Зображений на	∩^[d]
Нотація	∩^[d]
Підтримується Вікіпроєктом
Команда TeX	\cap
Протилежне	об'єднання
Перетин множин у Вікісховищі

Теоретико-множинні операції

${\displaystyle {\overline {A}}\;}$ доповнення

${\displaystyle A\cup B\;}$ об'єднання

${\displaystyle A\cap B\;}$ перетин

${\displaystyle A\setminus B\;}$ різниця

${\displaystyle A\triangle B\;}$ симетрична різниця

${\displaystyle A\times B\;}$ декартів добуток

Перетин множин A та B

Формально:

${\displaystyle A\cap B=\{x\mid x\in A\wedge x\in B\}.}$; ${\displaystyle A\cap B\subseteq A\land A\cap B\subseteq B}$

Якщо одна множина є підмножиною другої, то їхній перетин дорівнює першій множині: ${\displaystyle A\subseteq B\to A\cap B=A}$

Якщо перетин двох множин A і B є порожнім, тобто не містить спільних елементів, то кажуть, що такі множини не перетинаються.

Цей факт позначається як A∩B = Ø.

Приклади:

• {1, 2, 3} ∩ {2, 3, 4} = {2, 3}.
• {1, 2} ∩ {3, 4} = Ø.

Алгебраїчні властивості

• Перетин множин є бінарною операцією на довільному булеані ${\displaystyle 2^{X}}$;
• Операція перетину множин комутативна:

${\displaystyle A\cap B=B\cap A;\!}$

• Операція перетину множин асоціативна:

${\displaystyle (A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C);\!}$

• Універсальна множина ${\displaystyle X}$ є нейтральним елементом операції перетину множин:

${\displaystyle A\cap X=A;\!}$

• З вищеперечислених властивостей випливає, що булеан з операцією перетину множин є абелевою групою;
• Операція перетину множин ідемпотентна:

${\displaystyle A\cap A=A;\!}$

• Якщо ${\displaystyle \emptyset }$ — порожня множина, то

${\displaystyle A\cap \emptyset =\emptyset .}$

Перетин довільної кількості множин

В загальному випадку, якщо множина M є непорожньою множиною, елементами якої в свою чергу є множини. Тоді елемент x є елементом перетину M тоді й тільки тоді, коли для кожного елемента A з M, x є елементом A.

В символьній формі:

${\displaystyle x\in \bigcap \mathbf {M} \iff \forall A\in \mathbf {M} ,\ x\in A.}$

Наприклад, множина A∩B∩C є перетином такої колекції множин {A,B,C}.

Позначення перетину довільної кількості множин такі:

${\displaystyle \bigcap \mathbf {M} ,}$ або ${\displaystyle \bigcap _{A\in \mathbf {M} }A.}$

Остання нотація може бути узагальнена до

${\displaystyle \bigcap _{i\in I}A_{i},}$

що позначає перетин колекції множин {A_i : i ∈ I}. Тут I - непорожня множина, і A_i - множина для кожного i в I.

В цьому випадку I є індексна множина (тобто множина індексів, натуральних чисел), і можна застосувати нотацію, аналогічну нотації для сум:

${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}}$

Також можна писати "A₁ ∩ A₂ ∩ A₃ ∩ ...

Див. також

• Кон'юнкція
• Переріз множини дійсних чисел

Джерела

• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)