R-функції

R-функція (функція Рвачова) — числова функція дійсних змінних, знак якої цілком визначається знаками її аргументів за відповідного розбиття числової осі на інтервали ${\displaystyle (-\infty ,0)}$ і ${\displaystyle [0,\infty )}$. Вперше R-функції введено в роботах В. Л. Рвачова. На відміну від класичної аналітичної геометрії, теорія R-функцій займається синтезом задач і рівнянь з відомими властивостями.

Для вивчення R-функцій потрібно знати не тільки класичну аналітичну геометрію, але й теорію множин.

Визначення

Числова функція ${\displaystyle z=z(x,\;y)}$ називається R-функцією, якщо існує така супровідна булева функція ${\displaystyle \Phi \;}$ з таким самим числом аргументів, що

${\displaystyle \mathrm {sign} (z)=\Phi (\mathrm {sign} (x),\;\mathrm {sign} (y)).}$

Аналогічно вводиться поняття R-функції за кількості аргументів ${\displaystyle n\;>\;2.}$

Кожній R-функції відповідає єдина супровідна булева функція. Зворотне хибне: одній булевій функції відповідає нескінченне число (гілка) R-функцій.

Множина R-функцій замкнута в сенсі суперпозиції R-функцій. Систему R-функцій ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ називають достатньо повною, якщо множина всіх суперпозицій елементів ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ (множина ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$-реалізовних функцій) має непорожній перетин із кожною гілкою множини R-функцій. Достатньою умовою повноти є повнота системи ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{*}}$ відповідних супровідних булевих функцій.

Повні системи R-функцій

Найчастіше використовують повну систему R-функцій ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\alpha }}$ (при ${\displaystyle -1<\alpha \leq 1}$):

${\displaystyle x\wedge _{\alpha }y\equiv {\frac {1}{1+\alpha }}(x+y-{\sqrt {x^{2}+y^{2}-2\alpha xy}}),}$

${\displaystyle x\vee _{\alpha }y\equiv {\frac {1}{1+\alpha }}(x+y+{\sqrt {x^{2}+y^{2}-2\alpha xy}}),}$

${\displaystyle {\bar {x}}\equiv -x.}$

При ${\displaystyle \alpha =0\;}$ маємо систему ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{0}}$:

${\displaystyle x\wedge _{0}y\equiv x+y-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\quad x\vee _{0}y\equiv x+y+{\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\quad {\bar {x}}\equiv -x.}$

при ${\displaystyle \alpha =1\;}$ маємо систему ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{1}}$:

${\displaystyle x\wedge _{1}y\equiv {\frac {1}{2}}(x+y-|x-y|),\quad x\vee _{1}y\equiv {\frac {1}{2}}(x+y+|x-y|),\quad {\bar {x}}\equiv -x.}$

В останньому випадку R-функції кон'юнкції і диз'юнкції збігаються з відповідними ^[en] і нечіткої логіки:

${\displaystyle x\wedge y\equiv \min(x,y),\quad x\vee y\equiv \max(x,y).}$

Застосування

За допомогою R-функцій виявляється можливою побудова в неявній формі рівнянь меж складених ділянок за відомими рівняннями простих ділянок. Опис межі складеної ділянки у вигляді єдиного аналітичного виразу дозволяє створювати структури розв'язування крайових задач математичної фізики, що залежать від невизначених компонент і точно задовольняють граничним умовам. Невизначені компоненти таких структур можна далі знаходити одним з варіаційних або проєкційних методів розв'язування крайових задач (колокації, Релея — Рітца, Бубнова — Гальоркіна Петрова, найменших квадратів. Метод розв'язування крайових задач для рівнянь у часткових похідних на основі теорії R-функцій має назву структурного методу R-функцій або, в зарубіжній літературі, RFM (R-Functions Method).

R-функції можна розглядати як інструмент нескінченнозначної логіки або нечіткої логіки.

R-функції використовують (переважно вихованці харківської наукової школи) під час розв'язування широкого класу задач математичної фізики (теорії пружності, електродинаміки, теорії теплопровідності), а також у багатовимірній цифровій обробці сигналів і зображень, машинній графіці та інших галузях.

Застосування теорії R-функцій і вейвлетів до розв'язування крайових задач математичної фізики

У роботі професора В. П. Кравченка і його учня А. В. Юріна запропоновано й обґрунтовано новий метод, заснований на теорії R-функцій і WA-систем функцій (вейвлетів, побудованих на основі атомарних функцій), із застосуванням варіаційного принципу Гальоркіна — Петрова.

При розгляді широкого класу крайових задач різної фізичної природи виникає необхідність у розв'язуванні диференціальних рівнянь у часткових похідних, у яких досліджувана ділянка має складну конфігурацію. У таких випадках, як правило, використовуються чисельні методи: сіткові (метод скінченних різниць, скінченних елементів, граничних елементів), варіаційні та проєкційні (метод Рітца, Бубнова — Гальоркіна Петрова, колокацій, Трефтца, метод найменших квадратів, R-функцій). Однак, кожен з них має свої переваги і недоліки. Так, сіткові методи мають велику ефективність алгоритму (тому й набули значного поширення), але при цьому не точно враховують геометрію досліджуваного об'єкта. У разі варіаційних методів не завжди можна побудувати базисні функції, які задовольняли б усім необхідним умовам. Тому їх використання обмежене. Слід особливо наголосити на методі R-функцій, який володіє геометричною гнучкістю й універсальністю відносно вибраного способу мінімізації функціоналу. Застосування такого підходу вимагає значних обчислювальних витрат. Це обумовлено використанням структурних формул, в основі яких лежать побудовані за допомогою R-операцій функції ділянки. Такі функції можуть мати складну структуру, а для обчислення інтегралів від них за ділянкою нестандартної форми необхідно використовувати квадратурні формули з високим порядком точності. Вейвлет-базиси дозволяють обійти зазначені вище недоліки завдяки своїм унікальним властивостям і розробити адаптивну розрахункову схему без використання операції інтегрування. Такий підхід можливий завдяки введенню спеціальних коефіцієнтів, що відбивають диференціальні й інтегральні характеристики базису, а також коефіцієнтів розкладу за вейвлетами функцій ділянки, крайових умов і правої частини рівняння. Основним інструментом для реалізації нового методу на основі R-функцій і вейвлетів є схема Гальоркіна — Петрова розв'язування диференціальних рівнянь у часткових похідних.

У роботах на прикладі розв'язування крайових задач еліптичного типу показано ефективність методу R-функцій (функцій В. Л. Рвачова) в поєднанні з WA-системами функцій.

Примітки

1. Рвачёв В. Л. Геометрические приложения алгебры логики. — Киев: Техніка, 1967.
2. Рвачёв В. Л. Методы алгебры логики в математической физике. — Киев: Наук. думка, 1974.
3. Рвачёв В. Л. Теория R-функций и некоторые её приложения. — Киев: Наук. думка 1982.
4. Каледин, Валерий Олегович. Теория R-функций: учебное пособие для высших учебных заведений по направлению Прикладная математика и информатика: рек. УМО вузов РФ / В. О. Каледин, Е. В. Решетникова, В. Б. Гридчина ; Кемеровский гос. ун-т, Новокузнецкий ин-т (фил.). — 2-е изд., перераб. и доп. — Новокузнецк: НФИ КемГУ, 2017. — 119 с.
5. Рвачёв В. Л., Курпа Л. В., Склепус Н. Г., Учишвили Л. А. Метод R-функций в задачах об изгибе и колебаниях пластин сложной формы. — Киев: Наукова думка, 1973.
6. Рвачёв В. Л., Проценко В. С. Контактные задачи теории упругости для неклассических областей. — Киев: Наукова думка, 1977.
7. Рвачёв В. Л., Курпа Л. В. R-функции в задачах теории пластин. — Киев: Наукова думка 1987.
8. Рвачёв В. Л., Синекоп Н. С. Метод R-функций в задачах теории упругости и пластичности. — Киев: Наукова думка 1990.
9. ^[ru] Численные методы в теории упругости и пластичности. — М.: Изд-во МГУ, 1995.
10. Кравченко В. Ф., Басараб М. А. Булева алгебра и методы аппроксимации в краевых задачах электродинамики. — М.: Физматлит, 2004.
11. Кравченко В. Ф., Рвачёв В. Л. Алгебра логики, атомарные функции и вейвлеты в физических приложениях. — М.: Физматлит, 2006.
12. В. Ф. Кравченко, А. В. Юрин. Применение теории R-функций и вейвлетов к решению краевых задач эллиптического типа. Электромагнитные волны и электронные системы. 2009. Т.14. № 3. С. 4-39.
13. Рвачев В. Л., Слесаренко А. П. Алгебро-логические и проекционные методы в задачах теплообмена. — Киев: Наук. думка, 1978.
14. Басараб М. А., Кравченко В. Ф., Матвеев В. А. Математическое моделирование физических процессов в гироскопии. — М.: Радиотехника, 2005.
15. Басараб М. А., Кравченко В. Ф., Матвеев В. А. Методы моделирования и цифровой обработки сигналов в гироскопии. — М.: Физматлит, 2008.
16. Матвеев В. А., Лунин Б. С., Басараб М. А. Навигационные системы на волновых твердотельных гироскопах. — М.: Физматлит, 2008.
17. Цифровая обработка сигналов и изображений в радиофизических приложениях / Под ред. В. Ф. Кравченко. — М.: Физматлит, 2007.
18. В.Ф. Кравченко, О.С. Лабунько, А.М. Лерер, Г.П. Синявский. Глава 3, 4 // Вычислительные методы в современной радиофизике. Под. ред. В.Ф. Кравченко. — Москва : Физматлит, 2009.
19. Кравченко В. Ф., Кравченко О. В., Пустовойт В. И., Чуриков Д. В., Юрин А.В. Применение семейств атомарных, WA-систем и R-функций в современных проблемах радиофизики. Часть II // Радиотехника и электроника : обзор. — 2015. — № Т. 60. № 2 (29 листопада). — С. 109-148.
20. Кравченко В. Ф., Кравченко О. В., Пустовойт В. И., Чуриков Д. В., Юрин А.В. Применение семейств атомарных, WA-систем и R-функций в современных проблемах радиофизики. Часть IV // Радиотехника и электроника. — 2015. — Т. 60, № 11 (29 листопада). — С. 1113-1152.
21. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.
22. Новиков И. Я., Протасов В. Ю., Скопина М. А. Теория всплесков. М.: Физматлит, 2006.
23. Обэн Ж. П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. М.: Мир, 1972.
24. Красносельский М. А., Вайненко Г. М., Забрейко П. П., Рутицкий Я. Б., Стеценко В. Я. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969.

Див. також

• Алгебра логіки
• Булева алгебра
• Булева функція
• (функція Слесаренка)

Посилання

• Розв'язування оберненої задачі аналітичної геометрії. [Архівовано 27 березня 2018 у Wayback Machine.] Теорія R-функцій [Архівовано 27 березня 2018 у Wayback Machine.] (рос.)