Протокол Діффі-Хеллмана на еліптичних кривих (англ. Elliptic curve Diffie–Hellman, ECDH) — криптографічний протокол, що дозволяє двом сторонам, які мають пари відкритий/закритий ключ на еліптичних кривих, отримати загальний секретний ключ, використовуючи незахищений від прослуховування канал зв'язку. Цей секретний ключ може бути використаний як для шифрування подальшого обміну, так і для формування нового ключа, який потім може використовуватися для подальшого обміну інформацією за допомогою алгоритмів симетричного шифрування. Це варіація протоколу Діффі — Геллмана з використанням еліптичної криптографії.
Опис алгоритму
Нехай існують два абоненти: Аліса і Боб. Припустимо, Аліса хоче створити спільний секретний ключ з Бобом, але єдиний доступний між ними канал може підслухати третя сторона. Спочатку повинен бути узгоджений набір параметрів ( для загального випадку і
для поля характеристики
). Відповідно у кожної сторони повинна бути пара ключів, що складається з закритого ключа
, (випадково обраного ціле число з інтервалу
) і відкритого ключа
(де
- це результат того, що проробляє
раз операції підсумовування елемента
). Нехай тоді пара ключів Аліси буде
, а пара Боба
. Перед виконанням протоколу сторони повинні обмінятися відкритими ключами.
Аліса обчислює . Боб обчислює
. Загальний секрет —
(x-координата цієї точки). Більшість стандартних протоколів, що базуються на ECDH, використовують функції формування ключа для отримання симетричного ключа значення
.
Обчислені значення учасниками рівні, так як . З усієї інформації, пов'язаної зі своїм закритим ключем, повідомляє Аліса тільки свій відкритий ключ. Таким чином ніхто крім Аліси не може визначити її закритий ключ, крім учасника здатного вирішити задачу дискретного логарифмування на еліптичній кривій. Закритий ключ Боба аналогічно захищений. Ніхто крім Аліси або Боба не може обчислити їх загальний секрет, крім учасника здатного розв'язати проблему Діффі — Геллмана.
Відкриті ключі бувають або статичними (і підтверджені сертифікатом) або ефемерні (скорочено ECDHE). використовуються тимчасово й не обов'язково аутентифікують відправника, таким чином, якщо потрібна автентифікація, підтвердження автентичності повинно бути отримано іншим способом. Автентифікація необхідна для виключення можливості атаки посередника. Якщо Аліса або Боб використовують статичний ключ, небезпека атаки посередника виключається, але не може бути забезпечена ні пряма секретність, ні стійкість до підміни при компрометації ключа, як і деякі інші властивості стійкості до атак. Користувачі статичних закритих ключів змушені перевіряти чужий відкритий ключ і використовувати функцію формування ключа на загальний секрет, щоб запобігти витоку інформації про статично закритий ключ. Для шифрування з іншими властивостями часто використовується протокол .
При використанні загального секрету як ключа, часто бажано гешувать секрет, щоб позбутися від вразливостей, що виникли після застосування протоколу.
Приклад
Еліптична крива E над полем має порядок
, де P49 — просте число складається з 49 цифр у десятковому записі.
Виберемо Незвідний многочлен
І візьмемо точку еліптичної кривої
.
Перевіримо, що її порядок не дорівнює 2
.
Значить, її порядок дорівнює порядку групи , а саме числу
і її можна використовувати для побудови ключа. Нехай
,
.. Тоді відкриті ключі учасників протоколу обчислюються як,
.
.
А загальний секрет буде дорівнювати:
В якості ключа симетричної системи використовується значення (або його частина) .
Програмне забезпечення
- [en] — набір параметрів еліптичних і посилань, реалізований Даніелем Бернстайном на мові Сі.
Див. також
Примітки
- An Efficient Protocol for Authenticated Key Agreement, 2003, с. 119.
- Recommendation for Pair-Wise Key Establishment Schemes Using Discrete Logarithm Cryptography, 2013, с. 11.
- Suite B Implementer’s Guide to NIST SP 800-56A, 2009, с. 8.
- SEC 1: Elliptic Curve Cryptography, 2009, с. 63.
- Recommendation for Pair-Wise Key Establishment Schemes Using Discrete Logarithm Cryptography, 2009, с. 40.
- Recommendation for Pair-Wise Key Establishment Schemes Using Discrete Logarithm Cryptography, 2009, с. 20.
- SEC 1: Elliptic Curve Cryptography, 2009, с. 30.
- Элементарное введение в эллиптическую криптографию. Протоколы криптографии на эллиптических кривых, 2006, с. 85.
Література
- Elaine Barker, Lily Chen, Allen Roginsky, Miles Smid. Recommendation for Pair-Wise Key Establishment Schemes Using Discrete Logarithm Cryptography (англ.) // http://nvlpubs.nist.gov/ [ 10 березня 2018 у Wayback Machine.]. — National Institute of Standards and Technology, 2013. — .
- Standards for Efficient Cryptography Group (SECG). SEC 1: Elliptic Curve Cryptography: [англ.]. — http://www.secg.org [ 24 березня 2022 у Wayback Machine.]. — Certicom Corp, 2009. — P. 15—28, 56—58.
- National Institute of Standards and Technology (NIST). Suite B Implementer's Guide to NIST SP 800-56A: [англ.]. — https://www.nsa.gov [ 9 грудня 2020 у Wayback Machine.]. — 2009.
- Laurie Law. An Efficient Protocol for Authenticated Key Agreement: [англ.] / Laurie Law, Alfred Menezes, Minghua Qu … [et al.]. — Designs, Codes and Cryptography. — Kluwer Academic Publishers, 2003. — Vol. 28, no. 2. — P. 119—134. — ISSN 0925-1022. — DOI:10.1023/A:1022595222606.
- Болотов А. А., Гашков С. Б., Фролов А. Б. Глава 2. Протоколы на эллиптических кривых // Элементарное введение в эллиптическую криптографию. Протоколы криптографии на эллиптических кривых. — М.: КомКнига, 2006. — С. 83—86. — , ББК 32.81, УДК 512.8.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Protokol Diffi Hellmana na eliptichnih krivih angl Elliptic curve Diffie Hellman ECDH kriptografichnij protokol sho dozvolyaye dvom storonam yaki mayut pari vidkritij zakritij klyuch na eliptichnih krivih otrimati zagalnij sekretnij klyuch vikoristovuyuchi nezahishenij vid prosluhovuvannya kanal zv yazku Cej sekretnij klyuch mozhe buti vikoristanij yak dlya shifruvannya podalshogo obminu tak i dlya formuvannya novogo klyucha yakij potim mozhe vikoristovuvatisya dlya podalshogo obminu informaciyeyu za dopomogoyu algoritmiv simetrichnogo shifruvannya Ce variaciya protokolu Diffi Gellmana z vikoristannyam eliptichnoyi kriptografiyi Opis algoritmuNehaj isnuyut dva abonenti Alisa i Bob Pripustimo Alisa hoche stvoriti spilnij sekretnij klyuch z Bobom ale yedinij dostupnij mizh nimi kanal mozhe pidsluhati tretya storona Spochatku povinen buti uzgodzhenij nabir parametriv p a b G n h displaystyle p a b G n h dlya zagalnogo vipadku i m f x a b G n h displaystyle m f x a b G n h dlya polya harakteristiki 2 displaystyle 2 Vidpovidno u kozhnoyi storoni povinna buti para klyuchiv sho skladayetsya z zakritogo klyucha d displaystyle d vipadkovo obranogo cile chislo z intervalu 1 n 1 displaystyle 1 n 1 i vidkritogo klyucha Q displaystyle Q de Q d G displaystyle Q d cdot G ce rezultat togo sho proroblyaye d displaystyle d raz operaciyi pidsumovuvannya elementa G displaystyle G Nehaj todi para klyuchiv Alisi bude dA QA displaystyle d A Q A a para Boba dB QB displaystyle d B Q B Pered vikonannyam protokolu storoni povinni obminyatisya vidkritimi klyuchami Alisa obchislyuye xk yk dA QB displaystyle x k y k d A cdot Q B Bob obchislyuye xk yk dB QA displaystyle x k y k d B cdot Q A Zagalnij sekret xk displaystyle x k x koordinata ciyeyi tochki Bilshist standartnih protokoliv sho bazuyutsya na ECDH vikoristovuyut funkciyi formuvannya klyucha dlya otrimannya simetrichnogo klyucha znachennya xk displaystyle x k Obchisleni znachennya uchasnikami rivni tak yak dA QB dA dB G dB dA G dB QA displaystyle d A cdot Q B d A cdot d B cdot G d B cdot d A cdot G d B cdot Q A Z usiyeyi informaciyi pov yazanoyi zi svoyim zakritim klyuchem povidomlyaye Alisa tilki svij vidkritij klyuch Takim chinom nihto krim Alisi ne mozhe viznachiti yiyi zakritij klyuch krim uchasnika zdatnogo virishiti zadachu diskretnogo logarifmuvannya na eliptichnij krivij Zakritij klyuch Boba analogichno zahishenij Nihto krim Alisi abo Boba ne mozhe obchisliti yih zagalnij sekret krim uchasnika zdatnogo rozv yazati problemu Diffi Gellmana Vidkriti klyuchi buvayut abo statichnimi i pidtverdzheni sertifikatom abo efemerni skorocheno ECDHE vikoristovuyutsya timchasovo j ne obov yazkovo autentifikuyut vidpravnika takim chinom yaksho potribna avtentifikaciya pidtverdzhennya avtentichnosti povinno buti otrimano inshim sposobom Avtentifikaciya neobhidna dlya viklyuchennya mozhlivosti ataki poserednika Yaksho Alisa abo Bob vikoristovuyut statichnij klyuch nebezpeka ataki poserednika viklyuchayetsya ale ne mozhe buti zabezpechena ni pryama sekretnist ni stijkist do pidmini pri komprometaciyi klyucha yak i deyaki inshi vlastivosti stijkosti do atak Koristuvachi statichnih zakritih klyuchiv zmusheni pereviryati chuzhij vidkritij klyuch i vikoristovuvati funkciyu formuvannya klyucha na zagalnij sekret shob zapobigti vitoku informaciyi pro statichno zakritij klyuch Dlya shifruvannya z inshimi vlastivostyami chasto vikoristovuyetsya protokol Pri vikoristanni zagalnogo sekretu yak klyucha chasto bazhano geshuvat sekret shob pozbutisya vid vrazlivostej sho vinikli pislya zastosuvannya protokolu PrikladEliptichna kriva E nad polem GF 2163 displaystyle GF 2 163 maye poryadok 2 P49 displaystyle 2 cdot P49 de P49 proste chislo skladayetsya z 49 cifr u desyatkovomu zapisi E Y2 XY X3 X2 1 displaystyle E quad Y 2 XY X 3 X 2 1 Viberemo Nezvidnij mnogochlen 1 X X2 X8 X163 displaystyle 1 X X 2 X 8 X 163 I vizmemo tochku eliptichnoyi krivoyi P d42149e09429df4563ec1816488c92de89f93a9b2 ccd18d6cc3042c4c17a213506345c80965ac19476 0 displaystyle P d42149e09429df4563ec1816488c92de89f93a9b2 ccd18d6cc3042c4c17a213506345c80965ac19476 neq 0 Perevirimo sho yiyi poryadok ne dorivnyuye 2 2P ccd18d6cc3042c4c17a213506345c809b5ac1d476 835a2f56b88d6a249b4bd2a7550a4375e531d8a37 displaystyle 2P ccd18d6cc3042c4c17a213506345c809b5ac1d476 835a2f56b88d6a249b4bd2a7550a4375e531d8a37 Znachit yiyi poryadok dorivnyuye poryadku grupi 2 P49 displaystyle 2 cdot P49 a same chislu P49 displaystyle P49 i yiyi mozhna vikoristovuvati dlya pobudovi klyucha Nehaj kA 12 displaystyle k A 12 kb 123 displaystyle k b 123 Todi vidkriti klyuchi uchasnikiv protokolu obchislyuyutsya yak kA P 12 P bd9776bbe87a8b1024be2e415952f527eee928b43 c67a28ed7b137e756c37654f186a71bf64e5ac546 displaystyle k A cdot P 12 cdot P bd9776bbe87a8b1024be2e415952f527eee928b43 c67a28ed7b137e756c37654f186a71bf64e5ac546 kB P 123 P a5684e246044fc126e9832d17513387e474290547 568b4137f09f5f79a8a6b0fe44cdf41d8e68ae2c6 displaystyle k B cdot P 123 cdot P a5684e246044fc126e9832d17513387e474290547 568b4137f09f5f79a8a6b0fe44cdf41d8e68ae2c6 A zagalnij sekret bude dorivnyuvati kB kA P kA kB P 12 123 P bb7856cece13c71919534878bcb6f3a887d613c92 f661ffdfe1ba8cb1b2ad17b6550c65aa6d4f07f41 displaystyle k B cdot k A cdot P k A cdot k B cdot P 12 cdot 123 cdot P bb7856cece13c71919534878bcb6f3a887d613c92 f661ffdfe1ba8cb1b2ad17b6550c65aa6d4f07f41 V yakosti klyucha simetrichnoyi sistemi vikoristovuyetsya znachennya abo jogo chastina x bb7856cece13c71919534878bcb6f3a887d613c92 displaystyle x bb7856cece13c71919534878bcb6f3a887d613c92 Programne zabezpechennya en nabir parametriv eliptichnih i posilan realizovanij Danielem Bernstajnom na movi Si Div takozhEliptichna kriptografiya Protokol Diffi GellmanaPrimitkiAn Efficient Protocol for Authenticated Key Agreement 2003 s 119 Recommendation for Pair Wise Key Establishment Schemes Using Discrete Logarithm Cryptography 2013 s 11 Suite B Implementer s Guide to NIST SP 800 56A 2009 s 8 SEC 1 Elliptic Curve Cryptography 2009 s 63 Recommendation for Pair Wise Key Establishment Schemes Using Discrete Logarithm Cryptography 2009 s 40 Recommendation for Pair Wise Key Establishment Schemes Using Discrete Logarithm Cryptography 2009 s 20 SEC 1 Elliptic Curve Cryptography 2009 s 30 Elementarnoe vvedenie v ellipticheskuyu kriptografiyu Protokoly kriptografii na ellipticheskih krivyh 2006 s 85 LiteraturaElaine Barker Lily Chen Allen Roginsky Miles Smid Recommendation for Pair Wise Key Establishment Schemes Using Discrete Logarithm Cryptography angl http nvlpubs nist gov 10 bereznya 2018 u Wayback Machine National Institute of Standards and Technology 2013 ISBN 1495447502 Standards for Efficient Cryptography Group SECG SEC 1 Elliptic Curve Cryptography angl http www secg org 24 bereznya 2022 u Wayback Machine Certicom Corp 2009 P 15 28 56 58 National Institute of Standards and Technology NIST Suite B Implementer s Guide to NIST SP 800 56A angl https www nsa gov 9 grudnya 2020 u Wayback Machine 2009 Laurie Law An Efficient Protocol for Authenticated Key Agreement angl Laurie Law Alfred Menezes Minghua Qu et al Designs Codes and Cryptography Kluwer Academic Publishers 2003 Vol 28 no 2 P 119 134 ISSN 0925 1022 DOI 10 1023 A 1022595222606 Bolotov A A Gashkov S B Frolov A B Glava 2 Protokoly na ellipticheskih krivyh Elementarnoe vvedenie v ellipticheskuyu kriptografiyu Protokoly kriptografii na ellipticheskih krivyh M KomKniga 2006 S 83 86 ISBN 5 484 00444 6 BBK 32 81 UDK 512 8