Нехай є структура інцидентності , що складається з точок , прямих і прапорів . Кажуть, що точка інцидентна прямий , якщо . Структура називається скінченною частковою геометрією, якщо існують цілі числа , такі, що:
- Для будь-якої пари різних точок і існує максимум одна пряма, яка відповідає обом точкам.
- Кожна пряма інцидентна точці.
- Кожна точка інцидентна прямій.
- Якщо точка і пряма не інцидентні, існує рівно пар , таких, що інцидентна , а інцидентна .
Часткова геометрія з цими параметрами позначається .
Властивості
- Число точок задається формулою , а число прямих — формулою .
- Точковий граф структури є сильно регулярним графом: .
- Часткові геометрії двоїсті — двоїстою структурою для є структура .
Окремі випадки
- Узагальнені чотирикутники — це точно часткові геометрії з .
- Системи Штейнера — це точно часткові геометрії з .
Узагальнення
[en] порядку називають напівчастковою геометрією, якщо існують цілі числа , такі, що:
- Якщо точка і пряма не інцидентні, існує або , або рівно пар , таких, що інцидентна і інцидентна .
- Будь-яка пара неколінеарних точок має рівно спільних сусідів.
Напівчасткова геометрія є частковою геометрією тоді і тільки тоді, коли .
Легко показати, що граф колінеарності такої геометрії строго регулярний з параметрами .
Хороший приклад такої геометрії виходить, якщо взяти афінні точки і тільки ті прямі, які перетинають площину на нескінченності в точці фіксованої підплощини Бера. Геометрія має параметри .
Примітки
- Якщо дано часткову геометрію P, в якій будь-які дві точки визначають максимум одну пряму, графом колінеарності або точковим графом геометрії P називають граф, вершинами якого є точки P, а дві вершини з'єднано ребром тоді й лише тоді, коли вони визначають пряму в P.
Література
- Brouwer A.E., van Lint J.H. Strongly regular graphs and partial geometries // Enumeration and Design / Jackson D.M., Vanstone S.A. — Toronto : Academic Press, 1984. — С. 85–122.
- Bose R. C. Strongly regular graphs, partial geometries and partially balanced designs // Pacific J. Math. — 1963. — Т. 13 (30 червня). — С. 389–419. з джерела 22 червня 2019. Процитовано 29 липня 2021.
- De Clerck F., Van Maldeghem H. Some classes of rank 2 geometries // Handbook of Incidence Geometry. — Amsterdam : North-Holland, 1995. — С. 433–475.
- Thas J.A. Partial Geometries // Handbook of Combinatorial Designs / Colbourn Charles J., Dinitz Jeffrey H. — 2nd. — Boca Raton : Chapman & Hall/ CRC, 2007. — С. 557–561. — .
- Debroey I., Thas J. A. On semipartial geometries // Journal of Combinatorial Theory Ser. A. — 1978. — Т. 25 (30 червня). — С. 242–250.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Nehaj ye struktura incidentnosti C P L I displaystyle C P L I sho skladayetsya z tochok P displaystyle P pryamih L displaystyle L i praporiv I P L displaystyle I subseteq P times L Kazhut sho tochka p displaystyle p incidentna pryamij l displaystyle l yaksho p l I displaystyle p l in I Struktura nazivayetsya skinchennoyu chastkovoyu geometriyeyu yaksho isnuyut cili chisla s t a 1 displaystyle s t alpha geq 1 taki sho Dlya bud yakoyi pari riznih tochok p displaystyle p i q displaystyle q isnuye maksimum odna pryama yaka vidpovidaye obom tochkam Kozhna pryama incidentna s 1 displaystyle s 1 tochci Kozhna tochka incidentna t 1 displaystyle t 1 pryamij Yaksho tochka p displaystyle p i pryama l displaystyle l ne incidentni isnuye rivno a displaystyle alpha par q m I displaystyle q m in I takih sho p displaystyle p incidentna m displaystyle m a q displaystyle q incidentna l displaystyle l Chastkova geometriya z cimi parametrami poznachayetsya p g s t a displaystyle pg s t alpha VlastivostiChislo tochok zadayetsya formuloyu s 1 s t a a displaystyle frac s 1 st alpha alpha a chislo pryamih formuloyu t 1 s t a a displaystyle frac t 1 st alpha alpha Tochkovij graf strukturi p g s t a displaystyle pg s t alpha ye silno regulyarnim grafom s r g s 1 s t a a s t 1 s 1 t a 1 a t 1 displaystyle srg s 1 frac st alpha alpha s t 1 s 1 t alpha 1 alpha t 1 Chastkovi geometriyi dvoyisti dvoyistoyu strukturoyu dlya p g s t a displaystyle pg s t alpha ye struktura p g t s a displaystyle pg t s alpha Okremi vipadkiUzagalneni chotirikutniki ce tochno chastkovi geometriyi p g s t a displaystyle pg s t alpha z a 1 displaystyle alpha 1 Sistemi Shtejnera ce tochno chastkovi geometriyi p g s t a displaystyle pg s t alpha z a s 1 displaystyle alpha s 1 Uzagalnennya en S P L I displaystyle S P L I poryadku s t displaystyle s t nazivayut napivchastkovoyu geometriyeyu yaksho isnuyut cili chisla a 1 m displaystyle alpha geq 1 mu taki sho Yaksho tochka p displaystyle p i pryama ℓ displaystyle ell ne incidentni isnuye abo 0 displaystyle 0 abo rivno a displaystyle alpha par q m I displaystyle q m in I takih sho p displaystyle p incidentna m displaystyle m i q displaystyle q incidentna ℓ displaystyle ell Bud yaka para nekolinearnih tochok maye rivno m displaystyle mu spilnih susidiv Napivchastkova geometriya ye chastkovoyu geometriyeyu todi i tilki todi koli m a t 1 displaystyle mu alpha t 1 Legko pokazati sho graf kolinearnosti takoyi geometriyi strogo regulyarnij z parametrami 1 s t 1 s t 1 t s a 1 m s t 1 s 1 t a 1 m displaystyle 1 s t 1 s t 1 t s alpha 1 mu s t 1 s 1 t alpha 1 mu Horoshij priklad takoyi geometriyi vihodit yaksho vzyati afinni tochki P G 3 q 2 displaystyle PG 3 q 2 i tilki ti pryami yaki peretinayut ploshinu na neskinchennosti v tochci fiksovanoyi pidploshini Bera Geometriya maye parametri s t a m q 2 1 q 2 q q q q 1 displaystyle s t alpha mu q 2 1 q 2 q q q q 1 PrimitkiYaksho dano chastkovu geometriyu P v yakij bud yaki dvi tochki viznachayut maksimum odnu pryamu grafom kolinearnosti abo tochkovim grafom geometriyi P nazivayut graf vershinami yakogo ye tochki P a dvi vershini z yednano rebrom todi j lishe todi koli voni viznachayut pryamu v P LiteraturaBrouwer A E van Lint J H Strongly regular graphs and partial geometries Enumeration and Design Jackson D M Vanstone S A Toronto Academic Press 1984 S 85 122 Bose R C Strongly regular graphs partial geometries and partially balanced designs Pacific J Math 1963 T 13 30 chervnya S 389 419 z dzherela 22 chervnya 2019 Procitovano 29 lipnya 2021 De Clerck F Van Maldeghem H Some classes of rank 2 geometries Handbook of Incidence Geometry Amsterdam North Holland 1995 S 433 475 Thas J A Partial Geometries Handbook of Combinatorial Designs Colbourn Charles J Dinitz Jeffrey H 2nd Boca Raton Chapman amp Hall CRC 2007 S 557 561 ISBN 1 58488 506 8 Debroey I Thas J A On semipartial geometries Journal of Combinatorial Theory Ser A 1978 T 25 30 chervnya S 242 250