Тотожність Вальда

У теорій ймовірностей, рівняння Вальда, тотожність Вальда або лема Вальда — це важлива тотожність, яка спрощує обчислення математичного сподівання суми випадкової кількості випадкових величин. У своїй найпростішій формі воно пов'язує очікування суми випадкової кількості скінченних середніх, незалежних і ідентично розподілених випадкових змінних, з очікуваною кількістю доданків у сумі і спільним математичним сподіванням випадкових змінних за умови, що кількість доданків незалежна від доданків.

Базова версія

Нехай (X_n)_n∈ℕ буде послідовністю дійсно значимих, незалежних і ідентично розподілених випадкових змінних і нехай N буде невід'ємною цілочисельною змінною, яка незалежна від послідовності (X_n)_n∈ℕ. Припустимо, що N і X_n мають скінченні математичні сподівання. Тоді

${\displaystyle \operatorname {E} [X_{1}+\dots +X_{N}]=\operatorname {E} [N]\operatorname {E} [X_{1}]\,.}$

Приклад

Киньте шестигранну гральну кість. Візьміть число на кості (назвімо його N) і стільки разів киньте шестигранну кість, щоб отримати числа X₁, . . . , X_N, додайте їхні значення. Згідно з рівнянням Вальда, середнє вислідне значення становитиме

${\displaystyle \operatorname {E} [N]\operatorname {E} [X]={\frac {1+2+3+4+5+6}{6}}\cdot {\frac {1+2+3+4+5+6}{6}}={\frac {441}{36}}=12.25\,.}$

Примітки

1. Janssen, Jacques; Manca, Raimondo (2006). Renewal Theory. Applied Semi-Markov Processes. Springer. с. 45–104. doi:10.1007/0-387-29548-8_2. ISBN .
2. Thomas Bruss, F.; Robertson, J. B. (1991). 'Wald's Lemma' for Sums of Order Statistics of i.i.d. Random Variables. Advances in Applied Probability. 23 (3): 612—623. doi:10.2307/1427625. JSTOR 1427625.