У теорії ймовірностей теорема Гірсанова (названа на честь Ігоря Володимировича Гірсанова ) описує, як змінюється динаміка стохастичних процесів при зміні вихідної міри на еквівалентну ймовірнісну міру. Теорема особливо важлива в теорії фінансової математики, оскільки вона демонструє як перетворити міру, яка описує ймовірність того, що базовий інструмент (такий як ціна акції або відсоткова ставка ) прийме певне значення або значення нейтральної за ризиком міри, яка є дуже корисним інструментом для визначення цін на похідні фінансові інструменти.
Історія
Перші результати були доведені Камероном—Мартіном у 1940-х роках та Гірсановим у 1960 році . Згодом вони були поширені на більш загальні класи процесів, що завершилися загальною формою Ленгларта (1977).
Значущість
Теорема Гірсанова грає важливу роль в загальній теорії випадкових процесів, так як вона демонструє, що якщо є абсолютно неперервної мірою щодо , то кожен -семімартінгал є -семімартингалом.
Твердження
Спочатку сформулюємо теорему для особливого випадку, коли стохастичний процес, що лежить в основі, є процесом Броунівского руху. Цього окремого випадку достатньо для ціноутворення, що нейтралізує ризик, у моделі Блека—Шоулза та у багатьох інших моделях (наприклад, в усіх неперервних моделях).
Нехай є процесом Вінера на ймовірнісному просторі . Нехай є вимірним процесом, адаптованим до природної фільтрації процесу Вінера з .
Визначимо експоненту Долеана—Даде по відношенню до
де — це квадратична варіація . Якщо є строго додатним мартингалом, на ньому можна визначити ймовірнісну міру таку, що маємо похідну Радона—Нікодима
- .
Тоді для кожного міра звужується на , що еквівалентно звужується на . Крім того, якщо — локальний мартингал за , то процес
є локальним мартингалом на фільтрованому просторі ймовірностей .
Висновок
Якщо — неперервний процес і — броунівський рух за мірою , то
— це броунівський рух за .
Справа в тому, що неперервний; за теоремою Гірсанова це — локальний мартингал, а шляхом обчислення квадратичної варіації
за характеристикою Леві броунівського руху випливає, що — броунівський рух.
Коментарі
У багатьох статтях процес визначається за допомогою
Якщо має таку форму, то достатньою умовою для бути мартингалом — це умова Новікова, яка цього вимагає
Стохастична експонента — це процес , який вирішує стохастичне диференціальне рівняння
Побудована вище міра не еквівалентна на , оскільки це було б тільки в тому випадку, якщо похідна Радона—Нікодима була б рівномірно інтегрованим мартингалом, але описаний вище експоненціальний мартингал не є таким (для ).
Застосування у фінансах
У фінансах теорема Гірсанова використовується щоразу, коли потрібно вивести динаміку активу за новою ймовірнісною мірою. Найвідоміший випадок — перехід від історичної міри до нейтральної до ризику міри , яка виконується у моделі Блека—Шоулза за похідною Радона—Нікодима:
де позначає миттєву безризикову ставку, дріфт активу та його волатильність. Іншими класичними застосуваннями теореми Гірсанова є квантові коригування та розрахунок дріфтів форвардів за моделлю ринку LIBOR .
Дивись також
- [en]
- [en]
Посилання
- Musiela, M.; Rutkowski, M. (2004). Martingale Methods in Financial Modelling. New York: Springer. ISBN .
- Girsanov, I. V. (1960). On transforming a certain class of stochastic processes by absolutely continuous substitution of measures. Theory of Probability and Its Applications. 5 (3): 285—301. doi:10.1137/1105027.
- Lenglart, É. (1977). Transformation des martingales locales par changement absolument continu de probabilités. . 39 (1): 65—70. doi:10.1007/BF01844873.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U teoriyi jmovirnostej teorema Girsanova nazvana na chest Igorya Volodimirovicha Girsanova opisuye yak zminyuyetsya dinamika stohastichnih procesiv pri zmini vihidnoyi miri na ekvivalentnu jmovirnisnu miru 607 Teorema osoblivo vazhliva v teoriyi finansovoyi matematiki oskilki vona demonstruye yak peretvoriti miru yaka opisuye jmovirnist togo sho bazovij instrument takij yak cina akciyi abo vidsotkova stavka prijme pevne znachennya abo znachennya nejtralnoyi za rizikom miri yaka ye duzhe korisnim instrumentom dlya viznachennya cin na pohidni finansovi instrumenti Vizualizaciya teoremi Girsanova v livij chastini zobrazheno proces Vinera z vid yemnim driftom za kanonichnoyu miroyu P displaystyle P v pravij chastini kozhen shlyah procesu zabarvlenij vidpovidno do jogo jmovirnosti za martingalnoyu miroyu Q displaystyle Q Peretvorennya shilnosti z P displaystyle P na Q displaystyle Q zadayetsya teoremoyu Girsanova IstoriyaPershi rezultati buli dovedeni Kameronom Martinom u 1940 h rokah ta Girsanovim u 1960 roci Zgodom voni buli poshireni na bilsh zagalni klasi procesiv sho zavershilisya zagalnoyu formoyu Lenglarta 1977 ZnachushistTeorema Girsanova graye vazhlivu rol v zagalnij teoriyi vipadkovih procesiv tak yak vona demonstruye sho yaksho Q displaystyle Q ye absolyutno neperervnoyi miroyu shodo P displaystyle P to kozhen P displaystyle P semimartingal ye Q displaystyle Q semimartingalom TverdzhennyaSpochatku sformulyuyemo teoremu dlya osoblivogo vipadku koli stohastichnij proces sho lezhit v osnovi ye procesom Brounivskogo ruhu Cogo okremogo vipadku dostatno dlya cinoutvorennya sho nejtralizuye rizik u modeli Bleka Shoulza ta u bagatoh inshih modelyah napriklad v usih neperervnih modelyah Nehaj W t displaystyle W t ye procesom Vinera na jmovirnisnomu prostori W F P displaystyle Omega mathcal F P Nehaj X t displaystyle X t ye vimirnim procesom adaptovanim do prirodnoyi filtraciyi procesu Vinera F t W displaystyle mathcal F t W z X 0 0 displaystyle X 0 0 Viznachimo eksponentu Doleana Dade E X t displaystyle mathcal E X t X displaystyle X po vidnoshennyu do W displaystyle W E X t exp X t 1 2 X t displaystyle mathcal E X t exp left X t frac 1 2 X t right de X t displaystyle X t ce kvadratichna variaciya X t displaystyle X t Yaksho E X t displaystyle mathcal E X t ye strogo dodatnim martingalom na nomu mozhna viznachiti jmovirnisnu miru Q displaystyle Q W F displaystyle Omega mathcal F taku sho mayemo pohidnu Radona Nikodima d Q d P F t E X t displaystyle frac rm d Q rm d P bigg mathcal F t mathcal E X t Todi dlya kozhnogo t displaystyle t mira Q displaystyle Q zvuzhuyetsya na F t W displaystyle mathcal F t W sho ekvivalentno P displaystyle P zvuzhuyetsya na F t W displaystyle mathcal F t W Krim togo yaksho Y displaystyle Y lokalnij martingal za P displaystyle P to proces Y t Y t Y X t displaystyle tilde Y t Y t left Y X right t ye Q displaystyle Q lokalnim martingalom na filtrovanomu prostori jmovirnostej W F F t W Q displaystyle Omega mathcal F mathcal F t W Q VisnovokYaksho X displaystyle X neperervnij proces i W displaystyle W brounivskij ruh za miroyu P displaystyle P to W t W t W X t displaystyle tilde W t W t left W X right t ce brounivskij ruh za Q displaystyle Q Sprava v tomu sho W t displaystyle tilde W t neperervnij za teoremoyu Girsanova ce Q displaystyle Q lokalnij martingal a shlyahom obchislennya kvadratichnoyi variaciyi W t W t W t 2 W t W X t W X t W X t W t t displaystyle left tilde W right t left W t W t right 2 left W t W X t right left W X t W X t right left W right t t za harakteristikoyu Levi brounivskogo ruhu viplivaye sho Q displaystyle Q brounivskij ruh Komentari U bagatoh stattyah proces X displaystyle X viznachayetsya za dopomogoyu X t 0 t Y s d W s displaystyle X t int 0 t Y s rm d W s Yaksho X displaystyle X maye taku formu to dostatnoyu umovoyu dlya E X displaystyle mathcal E X buti martingalom ce umova Novikova yaka cogo vimagaye E P exp 1 2 0 T Y s 2 d s lt displaystyle E P left exp left frac 1 2 int 0 T Y s 2 rm d s right right lt infty Stohastichna eksponenta E X displaystyle mathcal E X ce proces Z displaystyle Z yakij virishuye stohastichne diferencialne rivnyannya Z t 1 0 t Z s d X s displaystyle Z t 1 int 0 t Z s rm d X s Pobudovana vishe mira Q displaystyle Q ne ekvivalentna P displaystyle P na F displaystyle mathcal F infty oskilki ce bulo b tilki v tomu vipadku yaksho pohidna Radona Nikodima bula b rivnomirno integrovanim martingalom ale opisanij vishe eksponencialnij martingal ne ye takim dlya l 0 displaystyle lambda neq 0 Zastosuvannya u finansahU finansah teorema Girsanova vikoristovuyetsya shorazu koli potribno vivesti dinamiku aktivu za novoyu jmovirnisnoyu miroyu Najvidomishij vipadok perehid vid istorichnoyi miri P displaystyle P do nejtralnoyi do riziku miri Q displaystyle Q yaka vikonuyetsya u modeli Bleka Shoulza za pohidnoyu Radona Nikodima d Q d P E 0 r m s d W s displaystyle frac rm d Q rm d P mathcal E left int 0 cdot frac r mu sigma rm d W s right de r displaystyle r poznachaye mittyevu bezrizikovu stavku m displaystyle mu drift aktivu ta s displaystyle sigma jogo volatilnist Inshimi klasichnimi zastosuvannyami teoremi Girsanova ye kvantovi koriguvannya ta rozrahunok driftiv forvardiv za modellyu rinku LIBOR Divis takozh en en Posilannya Musiela M Rutkowski M 2004 Martingale Methods in Financial Modelling New York Springer ISBN 3 540 20966 2 Girsanov I V 1960 On transforming a certain class of stochastic processes by absolutely continuous substitution of measures Theory of Probability and Its Applications 5 3 285 301 doi 10 1137 1105027 Lenglart E 1977 Transformation des martingales locales par changement absolument continu de probabilites 39 1 65 70 doi 10 1007 BF01844873