Теорема Сильвестра — Галлаї

Теорема Сильвестра — класичний результат комбінаторної геометрії про конфігурації прямих на площині.

Формулювання

На площині дано скінченне число точок, причому таке, що будь-яка пряма, яка проходить через дві з даних точок, містить ще одну дану точку. Тоді всі дані точки лежать на одній прямій.

Про доведення

Теорема Сильвестра знаменита тим, що її досить складно довести безпосередньо і при цьому просте доведення полягає в переході до її двоїстого переформулювання:

Якщо на площині дано таку скінченну множину прямих, що через будь-яку точку перетину двох даних прямих проходить ще одна з них, то всі вони проходять через одну точку або паралельні.

Доведення двоїстого переформулювання

Нехай одна з даних прямих ${\displaystyle \ell }$ не проходить через одну з точок перетину ${\displaystyle P}$. Знайдемо точку перетину і пряму, для яких відстань менша, ніж від ${\displaystyle P}$ до ${\displaystyle \ell }$. Оскільки число перетинів скінченне, це дасть суперечність. Випадок, коли через ${\displaystyle P}$ проходить пряма, не паралельна ${\displaystyle \ell }$, зображено на малюнку. Якщо ж третя пряма, що проходить через ${\displaystyle P}$, паралельна до прямої ${\displaystyle \ell }$, то розглянемо трикутник ${\displaystyle A'B'P'}$, середні лінії якого утворюють трикутник ${\displaystyle ABP}$, де ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$ — точки перетину двох прямих, що проходять через ${\displaystyle P}$, з прямою ${\displaystyle \ell }$. Якщо третя пряма, що проходить через ${\displaystyle A}$, не перетинає відрізка ${\displaystyle BP'}$, то відстань від точки ${\displaystyle P}$ до неї менша, ніж до ${\displaystyle \ell }$. Аналогічно, якщо третя пряма, що проходить через ${\displaystyle B}$, не перетинає відрізка ${\displaystyle AP'}$, то відстань від точки ${\displaystyle P}$ до неї менша, ніж до ${\displaystyle \ell }$. Якщо ж третя пряма, що проходить через ${\displaystyle A}$, перетинає відрізок ${\displaystyle BP'}$ і третя пряма, що проходить через ${\displaystyle B}$, перетинає відрізок ${\displaystyle AP'}$, то виникає точка перетину цих прямих. Якщо вона не збігається з ${\displaystyle P'}$, то вона ближче до прямої ${\displaystyle \ell }$, ніж ${\displaystyle P}$. Якщо ж вона збігається з ${\displaystyle P'}$, то можна застосувати вищенаведене міркування до неї і прямої ${\displaystyle \ell }$. Виникне трикутник ${\displaystyle PP''P'''}$, середні лінії якого утворюють трикутник ${\displaystyle ABP'}$. Замінюючи тепер у наших міркуваннях трикутник ${\displaystyle ABP}$ трикутником ${\displaystyle P''P'A}$ і діючи далі аналогічно, отримуємо суперечність зі скінченністю множини. ■

Пряме доведення

Пряме доведення знайшов через пів століття ^[en].

Припустимо неколінеарність точок даної множини. Вибираємо пару: її точка ${\displaystyle A}$ і пряма ${\displaystyle d}$, для якої відстань від ${\displaystyle A}$ до ${\displaystyle d}$ мінімальна додатна; така пара існує з огляду на скінченність множин точок і з'єднувальних прямих. Позначимо на ${\displaystyle d}$ три точки: ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ і ${\displaystyle D}$ з даної множини. Нехай точка ${\displaystyle P}$ є основою перпендикуляра, опущеного з ${\displaystyle A}$ на ${\displaystyle d}$. Не зменшуючи загальності, можна вважати, що точки ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle B}$ і ${\displaystyle C}$ розташовані на ${\displaystyle d}$ в зазначеному порядку; при цьому точки ${\displaystyle P}$ і ${\displaystyle B}$ можуть збігатися. Тоді відстань від точки ${\displaystyle B}$ до прямої ${\displaystyle AC}$ додатна і менша, ніж від ${\displaystyle A}$ до ${\displaystyle d}$. Суперечність. ■

Зауваження

Оскільки в доведенні ніяк не використовується умова, що всі точки лежать у площині, теорема Сильвестра поширюється на множини в евклідовому просторі довільної розмірності.

Див. також

• Конфігурація Сильвестра — Галлаї
• Теорема де Брейна — Ердеша