Теорема Райкова

Теорема Райкова — твердження в теорії ймовірностей. Добре відомо, що якщо випадкові величини ${\displaystyle \xi _{1}}$ та ${\displaystyle \xi _{2}}$ незалежні та розподілені по закону Пуассона, то їх сума також розподілена по закону Пуассона. Виявляється, що має місце і зворотнє твердження.

Формулювання теореми

Нехай випадкова величина ${\displaystyle \xi }$ має розподіл Пуассона та може бути представлена у вигляді суми двох незалежних випадкових величин ${\displaystyle \xi =\xi _{1}+\xi _{2}}$. Тоді розподіли випадкових величин ${\displaystyle \xi _{1}}$ та ${\displaystyle \xi _{2}}$ є зсувами розподілів Пуассона.

Коментар

Теорема Райкова аналогічна теоремі Крамера, в якій стверджується, що якщо сума двох незалежних випадкових величин має нормальний розподіл, то кожна з цих випадкових величин також має нормальний розподіл. Ю.В. Линник довів, що згортка нормального розподілу та розподілу Пуассона також має аналогічну властивість (теорема Линника).

Узагальнення на локально компактні абелеві групи

Нехай ${\displaystyle X}$ — локально компактна абелева група. Позначимо через ${\displaystyle M^{1}(X)}$ півгрупу за згорткою ймовірнісних розподілів на ${\displaystyle X}$, а  через ${\displaystyle E_{x}}$ — вироджений розподіл, зосереджений в точці ${\displaystyle x\in X}$. Нехай ${\displaystyle x_{0}\in X}$, ${\displaystyle \lambda >0}$.

Розподілом Пуассона, породженим мірою ${\displaystyle \lambda E_{x_{0}}}$, називається зсув розподілу виду

${\displaystyle \mu =e(\lambda E_{x_{0}})=e^{-\lambda }(E_{0}+\lambda E_{x_{0}}+\lambda ^{2}E_{2x_{0}}/2!+\ldots +\lambda ^{n}E_{nx_{0}}/n!+\dots ).}$

Має місце наступне твердження.

Теорема Райкова на локально компактних абелевих групах

Нехай ${\displaystyle \mu }$ — розподіл Пуассона, породжений мірою ${\displaystyle \lambda E_{x_{0}}}$. Нехай ${\displaystyle \mu =\mu _{1}*\mu _{2},}$де ${\displaystyle \mu _{j}\in M^{1}(X)}$. Якщо ${\displaystyle x_{0}}$ — або елемент нескінченого порядку, або порядку 2, то ${\displaystyle \mu _{j}}$ також є розподілом Пуассона. Якщо ж ${\displaystyle x_{0}}$ — елемент скінченного порядку ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle n\neq 2}$, то ${\displaystyle \mu _{j}}$ може бути не розподілом Пуассона.

Література

1. Райков Д. А. (1937). О разложении закона Пуассона. ДАН СССР. 14: 9—12.
2. [1] [ 19 лютого 2019 у Wayback Machine.]Рухин А. Л. (1970). Некоторые статистические и вероятностные задачи на группах. Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова. 11: 52—109.
3. Линник Ю. В., Островский И. В. (1972). Разложения случайных величин и векторов. Москва: Наука.