Теорема Пікара

У комплексному аналізі теоремами Пікара називаються дві теореми (мала і велика) про властивості цілих функцій і функцій голоморфних в околі істотної особливої точки.

Твердження

Мала теорема Пікара

Областю значень цілої функції, що не є рівною константі, є вся комплексна площина, за винятком, можливо, лише однієї точки.

Велика теорема Пікара

Якщо ${\displaystyle f(z)}$ — однозначна голоморфна функція в околі точки ${\displaystyle z=a}$, яка є для неї суттєво особливою точкою, то в кожному околі точки ${\displaystyle z=a}$ функція ${\displaystyle f(z)}$ приймає довільне скінченне значення, за винятком, можливо, одного.

Доведення

Теореми Пікара мають кілька різних доведень. Нижче наведені доведення за допомогою так званої геометричної теорії голоморфних функцій, зокрема за допомогою теорем Ландау, Блоха і Шотткі.

Мала теорема Пікара

Малу теорему Пікара можна довести за допомогою теореми Ландау. Припустимо, що ціла функція ${\displaystyle f(z)}$ не має двох різних скінченних значень ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ і не є константою.

Розглянемо функцію ${\displaystyle F(z)={\frac {f(z)-a}{b-a}}}$. Вона є голоморфною у всій площині, не рівною ${\displaystyle 0}$ і ${\displaystyle 1}$ і не є константою. Отже існує точка, яку можна вважати початком координат, в якій похідна ${\displaystyle F'(0)=\beta }$ не є рівною нулю. Нехай розклад функції в степеневий ряд в околі нуля буде ${\displaystyle F(z)=\alpha +\beta z+a_{2}z^{2}+...}$.

Оскільки функція ${\displaystyle F(z)}$ є голоморфною і не рівною ${\displaystyle 0}$ і ${\displaystyle 1}$ всередині кола довільного радіуса ${\displaystyle R}$: ${\displaystyle |z|<R}$, то по теоремі Ландау маємо ${\displaystyle R<\Omega (\alpha ,\beta )}$.

Суперечність цієї нерівності очевидна, оскільки в лівій її частині є довільне число ${\displaystyle R}$, а в правій — деяка константа ${\displaystyle \Omega (\alpha ,\beta )}$.

Велика теорема Пікара

Нехай ${\displaystyle f(z)}$ не є рівною двом скінченним значенням, за які можна взяти 0 і 1, як і у доведенні малої теореми. За допомогою дробово-лінійного перетворення незалежної змінної можна досягти того, що істотно особлива точка буде нескінченною, а функція ${\displaystyle f(z)}$ буде голоморфною і не рівною нулю і одиниці при ${\displaystyle |z|\geqslant l/2.}$

На основі теореми Сохоцького — Вейєрштраса, можливо задати нескінченну послідовність точок ${\displaystyle \lambda _{n},}$ що збігається до нескінченної точки ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lambda _{n}=\infty ,}$ і також для всіх n виконується нерівність ${\displaystyle 1/2<|f(\lambda _{n})|<1.}$

Для великих значень n функції ${\displaystyle f_{n}(z)=f(\lambda _{n}z)}$ є голоморфними в області ${\displaystyle |z|\geqslant l/2}$ і ${\displaystyle 1/2<|f_{n}(1)|<1.}$

Застосовуючи теорему Шотткі до кола з центром в точці ${\displaystyle z=1}$ радіуса 1/2, одержуємо, що ці функції в колі з центром ${\displaystyle z=1}$ радіуса 1/4 по модулю є між двома константами. Стартуючи від кола з центром ${\displaystyle z=1}$ радіуса 1/4, можливо побудувати послідовність із скінченної кількості кіл радіуса 1/4 з центрами на колі ${\displaystyle |z|=1}$ так, щоб центр кожного наступного круга лежав всередині попереднього круга, і так, щоб вони разом покривали коло ${\displaystyle |z|=1.}$

Послідовне багаторазове застосування узагальненої теореми Шотткі до кіл радіуса 1/2, із центрами в елементах послідовності, показує, що в області утвореній колами радіуса 1/4, всі функції ${\displaystyle f_{n}(z)}$ за модулем є між двома постійними числами. Зокрема ці функції на колі ${\displaystyle |z|=1}$ є обмеженими по модулю. Це твердження є рівнозначним тому, що функція ${\displaystyle f(z)}$ на всіх колах ${\displaystyle |z|=|\lambda _{n}|}$ за модулем є меншою деякої константи. Оскільки функція, що є голоморфною в кільці, включно із його границею, досягає максимуму свого модуля на границі, то ${\displaystyle |f(z)|}$ в області ${\displaystyle |z|\geqslant l/2}$ є меншим, ніж ця константа. Одержується протиріччя з теоремою Сохоцького — Вейєрштраса, що і доводить справедливість великої теореми Пікара.

Див. також

• Теорема Ландау
• Теорема Сохоцького — Вейєрштраса
• Теорема Шотткі

Література

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1980. — 976 с., ил.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — 12-е. — Москва : Наука, 1977.