Тензор інерції

Тензор інерції — в механіці абсолютно твердого тіла — тензорна величина, що зв'язує момент імпульсу тіла і кінетичну енергію його обертання з кутовою швидкістю:

${\displaystyle \ {\vec {L}}=J{\vec {\omega }}}$

де ${\displaystyle \ J}$ — тензор інерції, ${\displaystyle \ {\vec {\omega }}}$ — кутова швидкість, ${\displaystyle {\vec {L}}}$ — момент імпульсу

${\displaystyle \ E_{kin\ rot}={1 \over 2}\ {\vec {\omega }}^{\,T}\cdot J\cdot {\vec {\omega }}}$

${\displaystyle \ E_{kin}=E_{kin\ rot}+{p^{2} \over 2m}}$,

в компонентах це виглядає так:

${\displaystyle \ L_{i}=\sum _{j}J_{ij}\omega _{j}}$

${\displaystyle \ E_{kin\ rot}={1 \over 2}\sum _{ij}\omega _{i}J_{ij}\omega _{j}}$

Використовуючи визначення моменту імпульсу системи N матеріальних точок (перенумерованих в формулах нижче індексом k):

${\displaystyle \ {\vec {L}}=\sum _{k=1}^{N}[\ {\vec {r}}_{k}\times (\ m_{k}\ {\vec {v}}_{k}\ )\ ]}$

і кінематичний вираз для швидкості через кутову швидкість:

${\displaystyle \ {\vec {v}}=[\ {\vec {\omega }}\times {\vec {r}}\ ]}$

і порівнюючи з формулою, що виражає момент імпульсу через тензор інерції і кутову швидкість (перша формула в цій статті), неважко отримати явний вираз для тензора інерції:

${\displaystyle \ J_{ij}=\sum _{k}(\ m_{k}\ (\delta _{ij}r_{k}^{2}-r_{i_{k}}r_{j_{k}})\ ))}$

або:

${\displaystyle \ J_{ij}=\int (\delta _{ij}r^{2}-r_{i}r_{j}\ )dm=\int (\delta _{ij}r^{2}-r_{i}r_{j}\ )\rho dV}$,

де r — відстані від точок до центру, навколо якого обчислюється система частинок.

Джерела

• Єжов С. М., Макарець М. В., Романенко О. В. Класична механіка. — К. : ВПЦ "Київський університет", 2008. — 480 с.
• Федорченко А. М. Теоретична механіка. — К. : Вища школа, 1975. — 516 с.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика // Теоретическая физика. — М. : Наука, 1965. — Т. 1. — 204 с.
• Goldstein, H. (1980). Classical Mechanics (2nd ed.). Addison-Wesley. .
• Іро Г. Класична механіка = Klassische Mechanik. — Л. : ЛНУ ім. Івана Франка, 1999. — 464 с.
• Лич Дж. У. Классическая механика = Classical Mechanics. — М. : ИЛ, 1961. — 172 с.