Тензор пружності

Тензор модулів пружності або тензор пружності - тензор четвертого рангу ${\displaystyle c_{iklm}}$, який зв'язує між собою тензор механічних напружень ${\displaystyle \sigma _{ik}}$ і тензор деформації ${\displaystyle \varepsilon _{lm}}$ в законі Гука

${\displaystyle \sigma _{ik}=\sum _{lm}c_{iklm}\varepsilon _{lm}}$.

Симетрія

Загалом тензор четвертого рангу має 81 компоненту. Однак, кількість незалежних компонент зменшується завдяки симетричності тензора пружності.

Тензор пружності симетричний відносно перестановки перших двох індексів завдяки симетричності тензора механічних напружень

${\displaystyle c_{iklm}=c_{kilm}}$.

Тензор пружності симетричний відносно перестановки останніх двох індексів завдяки симетричності тензора деформації

${\displaystyle c_{iklm}=c_{ikml}}$.

Тензор пружності симетричний також відносно переставляння пар індексів

${\displaystyle c_{iklm}=c_{lmik}}$.

Таким чином максимальне число незалежних компонентів дорівнює 21.

Симетрія середовища накладає додаткові умови симетрії. Наприклад, для ізотропного середовища кількість незалежних компонентів дорівнює двом: це модуль Юнга й модуль зсуву.

Див. також

Матриця жорсткості