Це список інтегралів (первісних функцій) тригонометричних функцій. Для функцій що містять і показникові й тригонометричні функції, дивись Таблиця інтегралів експоненціальних функцій. Для повнішого списку інтегралів дивись Таблиця інтегралів. Дивись також .
У всіх цих формулах під a розуміється ненульова константа, C означає сталу інтегрування.
Функція, що містять тільки синус
Функція, що містять тільки косинус
Функція, що містять тільки тангенс
Функція, що містять тільки секанс
Функція, що містять тільки косеканс
Функція, що містять тільки котангенс
- також:
- також:
- також:
- також:
- також:
Інтеграли з симетричними межами інтегрування
Виноски
- Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals, 6th Edition. Thomson: 2008
Див. також
Джерела
- Тригонометрические функции — интегралы // Таблицы интегралов и другие математические формулы / пер. с англ. Н. В. Леви ; под ред. . — М. : Наука, 1978. — С. 83-102. (рос.)
Посилання
- Інтегрування тригонометричних виразів // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 400. — 594 с.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Ce spisok integraliv pervisnih funkcij trigonometrichnih funkcij Dlya funkcij sho mistyat i pokaznikovi j trigonometrichni funkciyi divis Tablicya integraliv eksponencialnih funkcij Dlya povnishogo spisku integraliv divis Tablicya integraliv Divis takozh U vsih cih formulah pid a rozumiyetsya nenulova konstanta C oznachaye stalu integruvannya Funkciya sho mistyat tilki sinus sin axdx 1acos ax C displaystyle int sin ax dx frac 1 a cos ax C sin2 axdx x2 14asin 2ax C x2 12asin axcos ax C displaystyle int sin 2 ax dx frac x 2 frac 1 4a sin 2ax C frac x 2 frac 1 2a sin ax cos ax C xsin2 axdx x24 x4asin 2ax 18a2cos 2ax C displaystyle int x sin 2 ax dx frac x 2 4 frac x 4a sin 2ax frac 1 8a 2 cos 2ax C x2sin2 axdx x36 x24a 18a3 sin 2ax x4a2cos 2ax C displaystyle int x 2 sin 2 ax dx frac x 3 6 left frac x 2 4a frac 1 8a 3 right sin 2ax frac x 4a 2 cos 2ax C sin b1xsin b2xdx sin b1 b2 x 2 b1 b2 sin b1 b2 x 2 b1 b2 C for b1 b2 displaystyle int sin b 1 x sin b 2 x dx frac sin b 1 b 2 x 2 b 1 b 2 frac sin b 1 b 2 x 2 b 1 b 2 C qquad mbox for b 1 neq b 2 mbox sinn axdx sinn 1 axcos axna n 1n sinn 2 axdx for n gt 0 displaystyle int sin n ax dx frac sin n 1 ax cos ax na frac n 1 n int sin n 2 ax dx qquad mbox for n gt 0 mbox dxsin ax 1aln tan ax2 C displaystyle int frac dx sin ax frac 1 a ln left tan frac ax 2 right C dxsinn ax cos axa 1 n sinn 1 ax n 2n 1 dxsinn 2 ax for n gt 1 displaystyle int frac dx sin n ax frac cos ax a 1 n sin n 1 ax frac n 2 n 1 int frac dx sin n 2 ax qquad mbox for n gt 1 mbox xsin axdx sin axa2 xcos axa C displaystyle int x sin ax dx frac sin ax a 2 frac x cos ax a C xnsin axdx xnacos ax na xn 1cos axdx for n gt 0 displaystyle int x n sin ax dx frac x n a cos ax frac n a int x n 1 cos ax dx qquad mbox for n gt 0 mbox a2a2x2sin2 npxadx a3 n2p2 6 24n2p2 for n 2 4 6 displaystyle int frac a 2 frac a 2 x 2 sin 2 frac n pi x a dx frac a 3 n 2 pi 2 6 24n 2 pi 2 qquad mbox for n 2 4 6 mbox sin axxdx n 0 1 n ax 2n 1 2n 1 2n 1 C displaystyle int frac sin ax x dx sum n 0 infty 1 n frac ax 2n 1 2n 1 cdot 2n 1 C sin axxndx sin ax n 1 xn 1 an 1 cos axxn 1dx displaystyle int frac sin ax x n dx frac sin ax n 1 x n 1 frac a n 1 int frac cos ax x n 1 dx dx1 sin ax 1atan ax2 p4 C displaystyle int frac dx 1 pm sin ax frac 1 a tan left frac ax 2 mp frac pi 4 right C xdx1 sin ax xatan ax2 p4 2a2ln cos ax2 p4 C displaystyle int frac x dx 1 sin ax frac x a tan left frac ax 2 frac pi 4 right frac 2 a 2 ln left cos left frac ax 2 frac pi 4 right right C xdx1 sin ax xacot p4 ax2 2a2ln sin p4 ax2 C displaystyle int frac x dx 1 sin ax frac x a cot left frac pi 4 frac ax 2 right frac 2 a 2 ln left sin left frac pi 4 frac ax 2 right right C sin axdx1 sin ax x 1atan p4 ax2 C displaystyle int frac sin ax dx 1 pm sin ax pm x frac 1 a tan left frac pi 4 mp frac ax 2 right C Funkciya sho mistyat tilki kosinus cos axdx 1asin ax C displaystyle int cos ax dx frac 1 a sin ax C cosn axdx cosn 1 axsin axna n 1n cosn 2 axdx for n gt 0 displaystyle int cos n ax dx frac cos n 1 ax sin ax na frac n 1 n int cos n 2 ax dx qquad mbox for n gt 0 mbox xcos axdx cos axa2 xsin axa C displaystyle int x cos ax dx frac cos ax a 2 frac x sin ax a C cos2 axdx x2 14asin 2ax C x2 12asin axcos ax C displaystyle int cos 2 ax dx frac x 2 frac 1 4a sin 2ax C frac x 2 frac 1 2a sin ax cos ax C x2cos2 axdx x36 x24a 18a3 sin 2ax x4a2cos 2ax C displaystyle int x 2 cos 2 ax dx frac x 3 6 left frac x 2 4a frac 1 8a 3 right sin 2ax frac x 4a 2 cos 2ax C xncos axdx xnsin axa na xn 1sin axdx displaystyle int x n cos ax dx frac x n sin ax a frac n a int x n 1 sin ax dx cos axxdx ln ax k 1 1 k ax 2k2k 2k C displaystyle int frac cos ax x dx ln ax sum k 1 infty 1 k frac ax 2k 2k cdot 2k C cos axxndx cos ax n 1 xn 1 an 1 sin axxn 1dx for n 1 displaystyle int frac cos ax x n dx frac cos ax n 1 x n 1 frac a n 1 int frac sin ax x n 1 dx qquad mbox for n neq 1 mbox dxcos ax 1aln tan ax2 p4 C displaystyle int frac dx cos ax frac 1 a ln left tan left frac ax 2 frac pi 4 right right C dxcosn ax sin axa n 1 cosn 1 ax n 2n 1 dxcosn 2 ax for n gt 1 displaystyle int frac dx cos n ax frac sin ax a n 1 cos n 1 ax frac n 2 n 1 int frac dx cos n 2 ax qquad mbox for n gt 1 mbox dx1 cos ax 1atan ax2 C displaystyle int frac dx 1 cos ax frac 1 a tan frac ax 2 C dx1 cos ax 1acot ax2 C displaystyle int frac dx 1 cos ax frac 1 a cot frac ax 2 C xdx1 cos ax xatan ax2 2a2ln cos ax2 C displaystyle int frac x dx 1 cos ax frac x a tan frac ax 2 frac 2 a 2 ln left cos frac ax 2 right C xdx1 cos ax xacot ax2 2a2ln sin ax2 C displaystyle int frac x dx 1 cos ax frac x a cot frac ax 2 frac 2 a 2 ln left sin frac ax 2 right C cos axdx1 cos ax x 1atan ax2 C displaystyle int frac cos ax dx 1 cos ax x frac 1 a tan frac ax 2 C cos axdx1 cos ax x 1acot ax2 C displaystyle int frac cos ax dx 1 cos ax x frac 1 a cot frac ax 2 C cos a1xcos a2xdx sin a1 a2 x2 a1 a2 sin a1 a2 x2 a1 a2 C for a1 a2 displaystyle int cos a 1 x cos a 2 x dx frac sin a 1 a 2 x 2 a 1 a 2 frac sin a 1 a 2 x 2 a 1 a 2 C qquad mbox for a 1 neq a 2 mbox Funkciya sho mistyat tilki tangens tan axdx 1aln cos ax C 1aln sec ax C displaystyle int tan ax dx frac 1 a ln cos ax C frac 1 a ln sec ax C tann axdx 1a n 1 tann 1 ax tann 2 axdx for n 1 displaystyle int tan n ax dx frac 1 a n 1 tan n 1 ax int tan n 2 ax dx qquad mbox for n neq 1 mbox dxqtan ax p 1p2 q2 px qaln qsin ax pcos ax C for p2 q2 0 displaystyle int frac dx q tan ax p frac 1 p 2 q 2 px frac q a ln q sin ax p cos ax C qquad mbox for p 2 q 2 neq 0 mbox dxtan ax 1aln sin ax C displaystyle int frac dx tan ax frac 1 a ln sin ax C dxtan ax 1 x2 12aln sin ax cos ax C displaystyle int frac dx tan ax 1 frac x 2 frac 1 2a ln sin ax cos ax C dxtan ax 1 x2 12aln sin ax cos ax C displaystyle int frac dx tan ax 1 frac x 2 frac 1 2a ln sin ax cos ax C tan axdxtan ax 1 x2 12aln sin ax cos ax C displaystyle int frac tan ax dx tan ax 1 frac x 2 frac 1 2a ln sin ax cos ax C tan axdxtan ax 1 x2 12aln sin ax cos ax C displaystyle int frac tan ax dx tan ax 1 frac x 2 frac 1 2a ln sin ax cos ax C Funkciya sho mistyat tilki sekans sec axdx 1aln sec ax tan ax C displaystyle int sec ax dx frac 1 a ln left sec ax tan ax right C secn axdx secn 1 axsin axa n 1 n 2n 1 secn 2 axdx for n 1 displaystyle int sec n ax dx frac sec n 1 ax sin ax a n 1 frac n 2 n 1 int sec n 2 ax dx qquad mbox for n neq 1 mbox secn xdx secn 2 xtan xn 1 n 2n 1 secn 2 xdx displaystyle int sec n x dx frac sec n 2 x tan x n 1 frac n 2 n 1 int sec n 2 x dx dxsec x 1 x tan x2 C displaystyle int frac dx sec x 1 x tan frac x 2 C dxsec x 1 x cot x2 C displaystyle int frac dx sec x 1 x cot frac x 2 C Funkciya sho mistyat tilki kosekans csc axdx 1aln csc ax cot ax C displaystyle int csc ax dx frac 1 a ln left csc ax cot ax right C csc2 xdx cot x C displaystyle int csc 2 x dx cot x C cscn axdx cscn 1 axcos axa n 1 n 2n 1 cscn 2 axdx for n 1 displaystyle int csc n ax dx frac csc n 1 ax cos ax a n 1 frac n 2 n 1 int csc n 2 ax dx qquad mbox for n neq 1 mbox dxcsc x 1 x 2sin x2cos x2 sin x2 C displaystyle int frac dx csc x 1 x frac 2 sin frac x 2 cos frac x 2 sin frac x 2 C dxcsc x 1 2sin x2cos x2 sin x2 x C displaystyle int frac dx csc x 1 frac 2 sin frac x 2 cos frac x 2 sin frac x 2 x C Funkciya sho mistyat tilki kotangens cot axdx 1aln sin ax C displaystyle int cot ax dx frac 1 a ln sin ax C cotn axdx 1a n 1 cotn 1 ax cotn 2 axdx for n 1 displaystyle int cot n ax dx frac 1 a n 1 cot n 1 ax int cot n 2 ax dx qquad mbox for n neq 1 mbox dx1 cot ax tan axdxtan ax 1 displaystyle int frac dx 1 cot ax int frac tan ax dx tan ax 1 dx1 cot ax tan axdxtan ax 1 displaystyle int frac dx 1 cot ax int frac tan ax dx tan ax 1 Funkciya sho mistyat i sinus i kosinus dxcos ax sin ax 1a2ln tan ax2 p8 C displaystyle int frac dx cos ax pm sin ax frac 1 a sqrt 2 ln left tan left frac ax 2 pm frac pi 8 right right C dx cos ax sin ax 2 12atan ax p4 C displaystyle int frac dx cos ax pm sin ax 2 frac 1 2a tan left ax mp frac pi 4 right C dx cos x sin x n 1n 1 sin x cos x cos x sin x n 1 2 n 2 dx cos x sin x n 2 displaystyle int frac dx cos x sin x n frac 1 n 1 left frac sin x cos x cos x sin x n 1 2 n 2 int frac dx cos x sin x n 2 right cos axdxcos ax sin ax x2 12aln sin ax cos ax C displaystyle int frac cos ax dx cos ax sin ax frac x 2 frac 1 2a ln left sin ax cos ax right C cos axdxcos ax sin ax x2 12aln sin ax cos ax C displaystyle int frac cos ax dx cos ax sin ax frac x 2 frac 1 2a ln left sin ax cos ax right C sin axdxcos ax sin ax x2 12aln sin ax cos ax C displaystyle int frac sin ax dx cos ax sin ax frac x 2 frac 1 2a ln left sin ax cos ax right C sin axdxcos ax sin ax x2 12aln sin ax cos ax C displaystyle int frac sin ax dx cos ax sin ax frac x 2 frac 1 2a ln left sin ax cos ax right C cos axdxsin ax 1 cos ax 14atan2 ax2 12aln tan ax2 C displaystyle int frac cos ax dx sin ax 1 cos ax frac 1 4a tan 2 frac ax 2 frac 1 2a ln left tan frac ax 2 right C cos axdxsin ax 1 cos ax 14acot2 ax2 12aln tan ax2 C displaystyle int frac cos ax dx sin ax 1 cos ax frac 1 4a cot 2 frac ax 2 frac 1 2a ln left tan frac ax 2 right C sin axdxcos ax 1 sin ax 14acot2 ax2 p4 12aln tan ax2 p4 C displaystyle int frac sin ax dx cos ax 1 sin ax frac 1 4a cot 2 left frac ax 2 frac pi 4 right frac 1 2a ln left tan left frac ax 2 frac pi 4 right right C sin axdxcos ax 1 sin ax 14atan2 ax2 p4 12aln tan ax2 p4 C displaystyle int frac sin ax dx cos ax 1 sin ax frac 1 4a tan 2 left frac ax 2 frac pi 4 right frac 1 2a ln left tan left frac ax 2 frac pi 4 right right C sin axcos axdx 12asin2 ax C displaystyle int sin ax cos ax dx frac 1 2a sin 2 ax C sin a1xcos a2xdx cos a1 a2 x2 a1 a2 cos a1 a2 x2 a1 a2 C for a1 a2 displaystyle int sin a 1 x cos a 2 x dx frac cos a 1 a 2 x 2 a 1 a 2 frac cos a 1 a 2 x 2 a 1 a 2 C qquad mbox for a 1 neq a 2 mbox sinn axcos axdx 1a n 1 sinn 1 ax C for n 1 displaystyle int sin n ax cos ax dx frac 1 a n 1 sin n 1 ax C qquad mbox for n neq 1 mbox sin axcosn axdx 1a n 1 cosn 1 ax C for n 1 displaystyle int sin ax cos n ax dx frac 1 a n 1 cos n 1 ax C qquad mbox for n neq 1 mbox sinn axcosm axdx sinn 1 axcosm 1 axa n m n 1n m sinn 2 axcosm axdx for m n gt 0 displaystyle int sin n ax cos m ax dx frac sin n 1 ax cos m 1 ax a n m frac n 1 n m int sin n 2 ax cos m ax dx qquad mbox for m n gt 0 mbox takozh sinn axcosm axdx sinn 1 axcosm 1 axa n m m 1n m sinn axcosm 2 axdx for m n gt 0 displaystyle int sin n ax cos m ax dx frac sin n 1 ax cos m 1 ax a n m frac m 1 n m int sin n ax cos m 2 ax dx qquad mbox for m n gt 0 mbox dxsin axcos ax 1aln tan ax C displaystyle int frac dx sin ax cos ax frac 1 a ln left tan ax right C dxsin axcosn ax 1a n 1 cosn 1 ax dxsin axcosn 2 ax for n 1 displaystyle int frac dx sin ax cos n ax frac 1 a n 1 cos n 1 ax int frac dx sin ax cos n 2 ax qquad mbox for n neq 1 mbox dxsinn axcos ax 1a n 1 sinn 1 ax dxsinn 2 axcos ax for n 1 displaystyle int frac dx sin n ax cos ax frac 1 a n 1 sin n 1 ax int frac dx sin n 2 ax cos ax qquad mbox for n neq 1 mbox sin axdxcosn ax 1a n 1 cosn 1 ax C for n 1 displaystyle int frac sin ax dx cos n ax frac 1 a n 1 cos n 1 ax C qquad mbox for n neq 1 mbox sin2 axdxcos ax 1asin ax 1aln tan p4 ax2 C displaystyle int frac sin 2 ax dx cos ax frac 1 a sin ax frac 1 a ln left tan left frac pi 4 frac ax 2 right right C sin2 axdxcosn ax sin axa n 1 cosn 1 ax 1n 1 dxcosn 2 ax for n 1 displaystyle int frac sin 2 ax dx cos n ax frac sin ax a n 1 cos n 1 ax frac 1 n 1 int frac dx cos n 2 ax qquad mbox for n neq 1 mbox sinn axdxcos ax sinn 1 axa n 1 sinn 2 axdxcos ax for n 1 displaystyle int frac sin n ax dx cos ax frac sin n 1 ax a n 1 int frac sin n 2 ax dx cos ax qquad mbox for n neq 1 mbox sinn axdxcosm ax sinn 1 axa m 1 cosm 1 ax n m 2m 1 sinn axdxcosm 2 ax for m 1 displaystyle int frac sin n ax dx cos m ax frac sin n 1 ax a m 1 cos m 1 ax frac n m 2 m 1 int frac sin n ax dx cos m 2 ax qquad mbox for m neq 1 mbox takozh sinn axdxcosm ax sinn 1 axa n m cosm 1 ax n 1n m sinn 2 axdxcosm ax for m n displaystyle int frac sin n ax dx cos m ax frac sin n 1 ax a n m cos m 1 ax frac n 1 n m int frac sin n 2 ax dx cos m ax qquad mbox for m neq n mbox takozh sinn axdxcosm ax sinn 1 axa m 1 cosm 1 ax n 1m 1 sinn 2 axdxcosm 2 ax for m 1 displaystyle int frac sin n ax dx cos m ax frac sin n 1 ax a m 1 cos m 1 ax frac n 1 m 1 int frac sin n 2 ax dx cos m 2 ax qquad mbox for m neq 1 mbox cos axdxsinn ax 1a n 1 sinn 1 ax C for n 1 displaystyle int frac cos ax dx sin n ax frac 1 a n 1 sin n 1 ax C qquad mbox for n neq 1 mbox cos2 axdxsin ax 1a cos ax ln tan ax2 C displaystyle int frac cos 2 ax dx sin ax frac 1 a left cos ax ln left tan frac ax 2 right right C cos2 axdxsinn ax 1n 1 cos axasinn 1 ax dxsinn 2 ax for n 1 displaystyle int frac cos 2 ax dx sin n ax frac 1 n 1 left frac cos ax a sin n 1 ax int frac dx sin n 2 ax right qquad mbox for n neq 1 mbox cosn axdxsinm ax cosn 1 axa m 1 sinm 1 ax n m 2m 1 cosn axdxsinm 2 ax for m 1 displaystyle int frac cos n ax dx sin m ax frac cos n 1 ax a m 1 sin m 1 ax frac n m 2 m 1 int frac cos n ax dx sin m 2 ax qquad mbox for m neq 1 mbox takozh cosn axdxsinm ax cosn 1 axa n m sinm 1 ax n 1n m cosn 2 axdxsinm ax for m n displaystyle int frac cos n ax dx sin m ax frac cos n 1 ax a n m sin m 1 ax frac n 1 n m int frac cos n 2 ax dx sin m ax qquad mbox for m neq n mbox takozh cosn axdxsinm ax cosn 1 axa m 1 sinm 1 ax n 1m 1 cosn 2 axdxsinm 2 ax for m 1 displaystyle int frac cos n ax dx sin m ax frac cos n 1 ax a m 1 sin m 1 ax frac n 1 m 1 int frac cos n 2 ax dx sin m 2 ax qquad mbox for m neq 1 mbox Funkciya sho mistyat i sinus i tangens sin axtan axdx 1a ln sec ax tan ax sin ax C displaystyle int sin ax tan ax dx frac 1 a ln sec ax tan ax sin ax C tann axdxsin2 ax 1a n 1 tann 1 ax C for n 1 displaystyle int frac tan n ax dx sin 2 ax frac 1 a n 1 tan n 1 ax C qquad mbox for n neq 1 mbox Funkciya sho mistyat i kosinus i tangens tann axdxcos2 ax 1a n 1 tann 1 ax C for n 1 displaystyle int frac tan n ax dx cos 2 ax frac 1 a n 1 tan n 1 ax C qquad mbox for n neq 1 mbox Funkciya sho mistyat i sinus i kotangens cotn axdxsin2 ax 1a n 1 cotn 1 ax C for n 1 displaystyle int frac cot n ax dx sin 2 ax frac 1 a n 1 cot n 1 ax C qquad mbox for n neq 1 mbox Funkciya sho mistyat i kosinus i kotangens cotn axdxcos2 ax 1a 1 n tan1 n ax C for n 1 displaystyle int frac cot n ax dx cos 2 ax frac 1 a 1 n tan 1 n ax C qquad mbox for n neq 1 mbox Integrali z simetrichnimi mezhami integruvannya ccsin xdx 0 displaystyle int c c sin x dx 0 cccos xdx 2 0ccos xdx 2 c0cos xdx 2sin c displaystyle int c c cos x dx 2 int 0 c cos x dx 2 int c 0 cos x dx 2 sin c cctan xdx 0 displaystyle int c c tan x dx 0 a2a2x2cos2 npxadx a3 n2p2 6 24n2p2 for n 1 3 5 displaystyle int frac a 2 frac a 2 x 2 cos 2 frac n pi x a dx frac a 3 n 2 pi 2 6 24n 2 pi 2 qquad mbox for n 1 3 5 mbox VinoskiStewart James Calculus Early Transcendentals 6th Edition Thomson 2008Div takozhSpisok trigonometrichnih totozhnostejDzherelaTrigonometricheskie funkcii integraly Tablicy integralov i drugie matematicheskie formuly per s angl N V Levi pod red M Nauka 1978 S 83 102 ros PosilannyaIntegruvannya trigonometrichnih viraziv Visha matematika v prikladah i zadachah Klepko V Yu Golec V L 2 ge vidannya K Centr uchbovoyi literaturi 2009 S 400 594 s