Спарені кола Архімеда

У геометрії спарені кола Архімеда  — це два спеціальних кола, пов'язані з арбелосом. Арбелос визначається трьома колінеарними точками A, B, та C, і є криволінійною трикутною областю між трьома півколами, діаметрами яких є AB, BC та AC.

Спарені кола Архімеда (червоні), арбелос (сірий)

Якщо арбелос розділений на дві менші області відрізком через середню точку A, B й C перпендикулярно лінії ABC, тоді кожен з двох спарених кол Архімеда буде лежати в межах однієї з цих двох областей, дотичної до її двох напівкруглих сторін і до сегмента розщеплення.

Ці кола вперше з'явилися в «Книзі Лем», в якій доводиться (п'яте твердження), що два кола є конгруентними. Сабіт ібн Курра, який переклав цю книгу на арабську мову, приписував її грецькому математику Архімеду. Виходячи з цього твердження, спарені кола Архімеда та кілька інших кіл в арбелосі, які відповідають їм, також називаються колами Архімеда. Однак це приписування було поставлено під сумнів більш пізніми вченими.

Побудова

Зокрема, нехай ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, та ${\displaystyle C}$ будуть трьома кутами арбелосу, такими, що ${\displaystyle B}$ розташоване між ${\displaystyle A}$ та ${\displaystyle C}$. Нехай ${\displaystyle H}$ — точка, в який перетинаються велике півколо та перпендикуляр до ${\displaystyle AC}$ проведений через точку ${\displaystyle B}$. Відрізок ${\displaystyle BH}$ ділить арбелос на дві частини. Спареними колами будуть два кола, вписані в ці частини, та кожен з них є дотичним до одного з двох менших півкіл, до відрізку ${\displaystyle BH}$ і до великого півкола.

Кожне з двох кіл однозначно визначається трьома дотичними. Їх побудова є окремим випадком задачи Аполлонія. Знайдено також альтернативні підходи до побудови двох кіл, конгруентних спареним колам.

Властивості

Нехай a та b — діаметри двох внутрішніх півкіл, так що зовнішнє півколо має діаметр a + b. Діаметр кожного спареного кола потім

${\displaystyle d={\frac {ab}{a+b}}.}$

Або ж, якщо зовнішнє півколо має діаметр одиниці, а внутрішні кола мають діаметри ${\displaystyle s}$ та ${\displaystyle 1-s}$, діаметр кожного спареного кола

${\displaystyle d=s(1-s).\,}$

Найменше коло, що охоплює обидва спарені кола, має ту ж саму площу, що й арбелос.

Інші конгруентні кола

Інші кола, що конгруентні зі спареними колами, також були побудовані з арбелоса. Як і спарені кола, ці кола також називаються архімедовими колами. До них належать ^[en], ^[en] та ^[en].

Див. також

^[en]

Примітки

1. Thomas Little Heath (1897), The Works of Archimedes. Cambridge University Press. П'яте твердження у «Книзі Лем». Цитата: "нехай AB-діаметр півкола, C - будь-яка точка на AB і CD, перпендикулярна їй, і нехай півкола описуються в межах першого півкола і мають AC, CB в якості діаметрів. Потім, якщо намалювати два кола, що стикаються з CD з різних сторін, і кожен з них стикається з двома півколами, то намальовані таким чином кола будуть рівні."
2. (2006). Reflections on the Arbelos. Mathematical Association of America. 113: 241. Джерелом твердження, що Архімед вивчав і називав арбелос, є «книга Лемм», також відома як "Liber assumptorum" з назви латинського перекладу сімнадцятого століття арабського перекладу дев'ятого століття втраченого грецького оригіналу. Хоча цей збірник з п'ятнадцяти твердженнь включений в стандартні видання праць Архімеда, редактори визнають, що автором «книги Лемм» був не Архімед, а якийсь анонімний пізніший упорядник, який дійсно посилається на Архімеда в третій особі.
3. Weisstein, Eric W. ""Archimedes' Circles." From MathWorld—A Wolfram Web Resource" (анг.) . Процитовано 10 квітня 2008.
4. Floor van Lamoen (2014). A catalog of over fifty Archimedean circles (анг.) . Процитовано 08 жовтня 2014.
5. Floor van Lamoen (2014). Circles (A61a) and (A61b): Dao pair (анг.) . Процитовано 08 жовтня 2014.