Симетрична алгебра

У лінійній алгебрі і теорії кілець симетрична алгебра — алгебра над полем чи над кільцем, що є певною мірою узагальненням алгебри многочленів. Симетрична алгебра є підалгеброю тензорної алгебри і має багато спільних властивостей із зовнішньою алгеброю.

Означення

Якщо ${\displaystyle M}$ — модуль над коммутативно-асоціативним кільцем ${\displaystyle A}$ з одиницею, ${\displaystyle T(M)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }T^{k}(M)}$, де ${\displaystyle T^{k}(M)=M\otimes \cdots \otimes M}$, — тензорна алгебра модуля ${\displaystyle M}$. Введемо також ідеал ${\displaystyle I(V)\subseteq T(V)}$ виду

${\displaystyle I(M):=\mathrm {span} \left\{v\otimes w-w\otimes v{\Big |}\;v,w\in V\right\}}$.

Симетричною алгеброю модуля ${\displaystyle M}$ називається алгебра ${\displaystyle S(M)=T(M)/I(M)}$.

Властивості

• Симетрична алгебра є комутативною і асоціативною ${\displaystyle A}$-алгеброю з одиницею.
• Симетрична алгебра є градуйованою:

${\displaystyle S(M)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }S^{k}(M)}$.

де ${\displaystyle S^{k}(M)=T^{k}(M)/I(M)\cap T^{k}(M)}$.

Зокрема ${\displaystyle S^{0}(M)=A,\;S^{1}(M)=M}$. Модуль ${\displaystyle S^{k}(M)}$ називається k-им симетричним степенем модуля ${\displaystyle M}$.

• Якщо ${\displaystyle M}$ — вільний модуль із скінченним базисом ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$, то відповідність ${\displaystyle x_{i}\to X_{i}}$ продовжується до ізоморфізму алгебри ${\displaystyle S(M)}$ і алгебри многочленів ${\displaystyle A[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$. Таким чином симетричну алгебра є узагальненням алгебри многочленів
• Для будь-якого гомоморфізму A- модулів ${\displaystyle f:M\to N}$ k-ий тензорний степінь ${\displaystyle T^{k}(f):T^{k}(M)\to T^{k}(N)}$ індукує гомоморфізм ${\displaystyle S^{k}(f):S^{k}(M)\to S^{k}(N)}$ (k-ий симетричний степінь гомоморфізму ${\displaystyle f}$). Ці гомоморфізми разом задають гомоморфізм A-алгебр ${\displaystyle S(f):S(M)\to S(N)}$. Відповідності ${\displaystyle f\to S^{k}(f)}$ і ${\displaystyle f\to S^{k}(f)}$ є відповідно коваріантними функторами з категорії ${\displaystyle A}$-модулів в себе і в категорію А-алгебр.
• Для будь-яких двох A-модулів М і N існує природний ізоморфізм ${\displaystyle S(M\oplus N)\cong S(M)\otimes \cong S(M)}$.
• Якщо ${\displaystyle V}$ — векторний простір над полем ${\displaystyle \mathbb {K} }$ характеристики 0, то симетрична алгебра ${\displaystyle S(V)}$ є ізоморфною алгебрі симетричних контраваріантних тензорів ${\displaystyle T^{S}}$ (тобто алгебрі полілінійних відображень ${\displaystyle P:\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} \rightarrow \mathbb {K} }$) на ${\displaystyle V}$ разом з операцією симетричного множення:

Якщо ${\displaystyle P\in T_{k}^{S},Q\in T_{l}^{S}}$ — два контраваріантні тензори відповідних порядків то їх симетричний добуток ${\displaystyle PQ\in T_{k+l}^{S}}$ за означенням задається як

${\displaystyle (PQ)(v_{1},\ldots ,v_{k+l})={\frac {1}{(k+l)!}}\sum _{\sigma \in S_{k+l}}P(v_{\sigma (1)},\ldots .v_{\sigma (k)})Q(v_{\sigma (k+1)},\ldots ,v_{\sigma (k+l)})}$

• Якщо ${\displaystyle V}$ — векторний простір розмірності n, то розмірність k-ого симетричного степеня рівна

${\displaystyle \operatorname {dim} (S^{k}(V))={\binom {n+k-1}{k}}}$.

Як наслідок розмірність усієї симетричної алгебри є нескінченною, на відміну від випадку зовнішньої алгебри.

• Симетрична алгебра на векторному просторі є вільним об'єктом категорії комутативних асоціативних алгебр з одиницею.

Див. також

• Зовнішня алгебра
• Кільце многочленів
• Тензорна алгебра

Посилання

• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), algebra Symmetric algebra, Математична енциклопедія, , ISBN 

Література

• Bourbaki, Nicolas (1989), Elements of mathematics, Algebra I, Springer-Verlag, ISBN 
• Johan L. Dupont: Curvature and characteristic classes. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 640. Springer, Berlin-New York 1978.