Серединний трикутник

Серединний трикутник (додатковий трикутник) — трикутник, вершини якого є серединами сторін даного початкового трикутника, окремий випадок ^[en] для многокутника з n сторонами для ${\displaystyle n=3}$.

Червоний трикутник — серединний трикутник чорного трикутника. Вершини червоного трикутника є серединами сторін чорного трикутника.

Властивості

Серединний трикутник є образом даного початкового трикутника ${\displaystyle \triangle ABC}$ при гомотетії з центром у центроїді та множником ${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$. Таким чином, серединний трикутник подібний до початкового і має той самий центроїд і ті самі медіани, що й початковий трикутник ${\displaystyle \triangle ABC}$. Звідси маємо, що периметр серединного трикутника дорівнює півпериметру трикутника ${\displaystyle \triangle ABC}$, а його площа дорівнює чверті площі трикутника ${\displaystyle \triangle ABC}$. Крім того, чотири трикутники, на які ділиться початковий трикутник серединним трикутником, рівні за трьома сторонами, тому їхні площі рівні. Через це іноді «серединними» називають одразу всі чотири, рівні між собою, внутрішні трикутники, одержані з початкового трикутника проведенням у ньому трьох середніх ліній (у термінології серединним називають тільки один з них — центральний).

Ортоцентр серединного трикутника збігається з центром описаного кола даного трикутника ${\displaystyle \triangle ABC}$, що доводить належність центра описаного кола, центроїда й ортоцентра одній прямій — прямій Ейлера.

Серединний трикутник є подерним трикутником центру описаного кола. Коло дев'яти точок є описаним для серединного трикутника, а тому центр дев'яти точок є центром описаного навколо серединного трикутника кола. Точка Нагеля серединного трикутника є центром вписаного кола початкового трикутника. Серединний трикутник дорівнює , вершинами якого є середини відрізків, що з'єднують ортоцентр і його вершини.

Центр вписаного кола трикутника лежить у серединному трикутнику. Точка всередині трикутника є центром тоді й тільки тоді, коли ця точка лежить усередині серединного трикутника. Серединний трикутник є єдиним вписаним трикутником, для якого жоден із трьох інших трикутників не має площу, меншу за площу цього трикутника. Центр кола, вписаного в серединний трикутник даного трикутника ${\displaystyle \triangle ABC}$, є центром мас периметру трикутника (центром Шпікера), цей центр є центром мас однорідної дротяної фігури, відповідної трикутнику.

Координати

Нехай ${\displaystyle a=\left|BC\right|}$, ${\displaystyle b=\left|CA\right|}$, ${\displaystyle c=\left|AB\right|}$ - довжини сторін трикутника ${\displaystyle \triangle ABC}$. Тоді трилінійні координати вершин серединного трикутника задаються формулами:

${\displaystyle {\begin{cases}X=\left(0;{\frac {1}{b}};{\frac {1}{c}}\right)\\Y=\left({\frac {1}{a}};0;{\frac {1}{c}}\right)\\Z=\left({\frac {1}{a}};{\frac {1}{b}};0\right)\end{cases}}}$

Антисерединний трикутник

Якщо ${\displaystyle \triangle XYZ}$ — серединний трикутник для ${\displaystyle \triangle ABC}$, то ${\displaystyle \triangle ABC}$ є антисерединним трикутником для ${\displaystyle \triangle XYZ}$. Антикомпліментарний трикутник для ${\displaystyle \triangle ABC}$ утворюється трьома прямими, паралельними сторонам ${\displaystyle \triangle ABC}$ — паралельно AB через точку C, паралельно AC через точку B і паралельно BC через точку A.

Трикутні координати вершин антисерединного трикутника ${\displaystyle \triangle X'Y'Z'}$ задаються формулами:

${\displaystyle {\begin{cases}X'=\left(-{\frac {1}{a}};{\frac {1}{b}};{\frac {1}{c}}\right)\\Y'=\left({\frac {1}{a}};-{\frac {1}{b}};{\frac {1}{c}}\right)\\Z'=\left({\frac {1}{a}};{\frac {1}{b}};-{\frac {1}{c}}\right)\end{cases}}}$

Примітки

Література

• Alfred S. Posamentier, Ingmar Lehmann. The Secrets of Triangles. — Prometheus Books, 2012.
• William N. Franzsen The distance from the incenter to the Euler line // Forum Geometricorum. — 2011. — Вип. 11.
• Nathan Altshiller-Court. College Geometry. — Dover Publications, 2007.
• G. D. Chakerian. Mathematical Plums / R. Honsberger. — Washington, DC: Mathematical Association of America ,, 1 979.
• Ricardo M. Torrejon On an Erdos inscribed triangle inequality // Forum Geometricorum. — 2005. — Вип. 5.
• Зетель С. І. Нова геометрія трикутника. Посібник для вчителів. 2-е видання .. — М .: Учпедгиз, 1

Посилання

• Weisstein, Eric W. Medial triangle (англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Anticomplementary Triangle (англ.) на сайті Wolfram MathWorld.