Рівняння вихору у гідроаеродинаміці описує розгортання завихореності ω частини рідини яка рухається з потоком тобто опис

Рівняння вихору у гідроаеродинаміці описує розгортання завихореності $ω$ частини рідини, яка рухається з потоком, тобто, описує завихореність локально (в термінах векторного обчислення це ротор швидкості потоку).

Рівняння вихору (рівняння еволюції вихору) — диференціальне рівняння з частинними похідними, яке описує еволюцію у просторі та часі вихору швидкості потоку рідини або газу. Вихор швидкості (завихореність) — це ротор швидкості. Рівняння вихору використовується в таких областях: гідродинаміка, геофізична гідродинаміка, астрофізична гідродинаміка, у обчисленні прогнозу погоди.

Рівняння вихору має такий вигляд:

{\begin{aligned}{\frac {D{\boldsymbol {\omega }}}{Dt}}&={\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla ){\boldsymbol {\omega }}\\&=({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla )\mathbf {u} -{\boldsymbol {\omega }}(\nabla \cdot \mathbf {u} )+{\frac {1}{\rho ^{2}}}\nabla \rho \times \nabla p+\nabla \times \left({\frac {\nabla \cdot \tau }{\rho }}\right)+\nabla \times \left({\frac {B}{\rho }}\right)\end{aligned}}

де $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}D/Dt$ — похідна Лагранжа, $u$ — швидкість потоку, ρ — це локальна щільність рідини, p — локальний тиск, τ — це тензор в'язких напружень та $B$ — позначає суму зовнішніх сил. Перший вираз правої частини означає розтягування вихору.

Рівняння є справедливе при відсутності будь-яких концентрованих крутних моментів та лінійних сил, для стисливої ньютонівської рідини.

У випадку нестисливої (тобто, малих значень числа Маха) та ізотропної рідини, з консервативними силами, рівняння спрощується до транспортного рівняння вихору

{\frac {D{\boldsymbol {\omega }}}{Dt}}=\left({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla \right)\mathbf {u} +\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }}

де ν — кінематична в'язкість, а $\nabla 2$ — оператор Лапласа.

Фізична інтерпретація

Вираз $D ω / Dt$ — у лівій частині похідна Лагранжа вектору вихору $ω$ . Описує швидкість зміни руху завихореності частини рідини. Ця зміна може бути пов'язана з нестійкістю в потоці ( $\partial ω / \partial t$ , нестаціонарний вираз) рухом частини рідини від однієї точки до іншої ( $u ∙ (\nabla ω)$ , вираз конвекції).
Вираз $(ω ∙ \nabla) u$ у правій частині описує розтягування або нахил вихору за рахунок градієнту швидкості потоку. Зауважимо, що $\nabla u$ — це тензор другого порядку з 9 компонентами.
Вираз $ω (\nabla ∙ u)$ описує розтягування вихору з точки зору стисливості процесу. Це випливає з рівняння Нав'є-Стокса для забезпечення безперервності, а саме

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {u} \right)=0

або

\nabla \cdot \mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho }}{\frac {d\rho }{dt}}={\frac {1}{v}}{\frac {dv}{dt}}

де

v = 1 / ρ

- це питомий об'єм елементів рідини,

\nabla ∙ u

— міра стисливості потоку. Іноді у виразі можуть бути від'ємні значення.

Вираз $1 / ρ 2 \nabla ρ \times \nabla p$ — баротропний вираз. Це зміна в завихореності через перетин щільності і тиску поверхонь.
У виразі $\nabla \times (\nabla ∙ τ / ρ)$ обраховується дифузія внаслідок ефекту в'язкості.
Вираз $\nabla \times B$ передбачає зміни за рахунок зовнішніх сил. Це сили, які поширюються у тривимірній області поточного середовища, наприклад, гравітація або електромагнітні сили.

Спрощення

У випадку консервативних сил, $\nabla \times B = 0$ .
Для баротропних рідини, $\nabla ρ \times \nabla p = 0$ . Це також вірно і для постійної щільності рідини (в тому числі нестисливої рідини) де $\nabla ρ = 0$ . Зауважимо, що це не те ж саме, що й у випадку нестисливої рідини, для якої баротропним виразом не можна знехтувати.
Для нев'язкої рідини, тензор в'язкості τ дорівнює нулю.

Таким чином, для нев'язкої, баротропної рідини з консервативними силами рівняння вихору спрощується до такого вигляду:

{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\boldsymbol {\omega }}{\rho }}\right)=\left({\frac {\boldsymbol {\omega }}{\rho }}\right)\cdot \nabla \mathbf {u}

З іншого боку, в разі нестисливої нев'язкої рідини з консервативними силами,

{\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}=({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla )\mathbf {u}

Для короткого огляду інших випадків і спрощень, див. також.

Походження

Рівняння вихору може бути отримано з рівнянь Нав'є-Стокса для консервативного моменту імпульсу. За відсутності будь-яких концентрованих крутних моментів і лінійних сил, отримаємо

{\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}={\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\mathbf {B} +{\frac {\nabla \cdot \tau }{\rho }}

Тут, завихореність визначається як ротор вектора швидкості потоку. Знаходження ротора дає шукане рівняння.

Наступні тотожності є корисними при виводі рівняння:

{\begin{aligned}&{\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {u} \\&\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} =\nabla \left({\tfrac {1}{2}}\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} \right)-\mathbf {u} \times {\boldsymbol {\omega }}\\&\nabla \times \left(\mathbf {u} \times {\boldsymbol {\omega }}\right)=-{\boldsymbol {\omega }}\left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)+\left({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla \right)\mathbf {u} -\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right){\boldsymbol {\omega }}\\[4pt]&\nabla \cdot {\boldsymbol {\omega }}=0\\[4pt]&\nabla \times \nabla \phi =0\end{aligned}}

(де ϕ — будь-яке поле скалярів).

Позначення тензору

Рівняння вихору може виразити за допомогою позначень тензору, використовуючи нотація ейнштейна та Символ Леві-Чивіти e_ijk:

{\begin{aligned}{\frac {D\omega _{i}}{Dt}}&={\frac {\partial \omega _{i}}{\partial t}}+v_{j}{\frac {\partial \omega _{i}}{\partial x_{j}}}\\&=\omega _{j}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}-\omega _{i}{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{j}}}+e_{ijk}{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial \rho }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial p}{\partial x_{k}}}+e_{ijk}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \tau _{km}}{\partial x_{m}}}\right)+e_{ijk}{\frac {\partial B_{k}}{\partial x_{j}}}\end{aligned}}

Спеціальні (конкретні науки)

Науки про атмосферу

В науках про атмосферу, рівняння вихору може бути сформульоване в термінах абсолютної завихореності повітря по відношенню до інерціальної системі відліку, або завихореності по відношенню до обертання Землі. Абсолютна версія є такою

{\frac {d\eta }{dt}}=-\eta \nabla _{h}\cdot \mathbf {v} _{h}-\left({\frac {\partial \omega }{\partial x}}{\frac {\partial v}{\partial z}}-{\frac {\partial \omega }{\partial y}}{\frac {\partial u}{\partial z}}\right)-{\frac {1}{\rho ^{2}}}\mathbf {k} \cdot \left(\nabla _{h}p\times \nabla _{h}\rho \right)

Тут, η полярний (z) компонент вихору, ρ — щільність атмосфери, u, v, та ω компоненти швидкості вітру, та $\nabla h$ двовимірний оператор Гамільтона.

Рівняння Фрідмана

В загальному випадку рух ньютонівської рідини підпорядковується рівнянням Нав'є-Стокса. На відміну від форми рівняння Ейлера для нестисливої рідини, в ньому враховуються ефекти стисливості та внутрішнього тертя. Застосовуючи до рівняння Нав'є-Стокса диференціальний оператор rot ми отримаємо рівняння Фрідмана.

Рівняння вихору турбулентної рідини
Рівняння Фрідмана застосовується до турбулентних течій. Але в такому випадку, всі вхідні в нього величини повинні розумітися як усереднені (в сенсі О. Рейнольдса). Однак, слід мати на увазі, що таке узагальнення тут є недостатньо точним. Справа в тому, що при виводі рівняння Фрідмана не брався до уваги (через відносно мале значення) вектор щільності турбулентного імпульсу, де межа зверху — знак усереднення, штрих — відхилення від середнього. Ця обставина полягає в тому, що рівняння Фрідмана не може пояснити явище циклу індексу, в якому спостерігається зворотній баротропний обмін енергією і кутовим моментом(момент імпульсу) між упорядкованим і турбулентним рухами.

Див. також

Література

Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2300+ с.(укр.)