Рівня́ння Ланда́у — Лі́фшиця — рівняння, що описує рух намагніченості в наближенні континуальної моделі у твердих тілах. Вперше введене Л. Д. Ландау та Є. М. Ліфшицем у 1935 році.
Формулювання
Для бездисипативного середовища та за відсутності спін-поляризованого струму рівняння Ландау-Ліфшиця зазвичай записується у вигляді
где — щільність магнітного моменту (намагніченість),
— деяка феноменологічна стала,
— так зване ефективне магнітне поле.
Рівняння в основному використовується для феро- та феримагнетиків. У загальному випадку стала не дорівнює гіромагнітному співвідношенню і в рамках феноменологічної теорії має розглядатись як величина, що визначається з експерименту. Їхня відмінність зумовлена вкладом орбітальних моментів. Тому за умови, що магнітні іони знаходяться в
-стані (тобто орбітальні моменти відсутні), можна вважати, що
дорівнює гіромагнітному відношенню з високим степенем точності.. Це виконується для CdCr2Se4, Y3Fe5O12, пермалою Fe20+xNi80-x та більшості інших феро- та феримагнітних матеріалів.
Ефективне магнітне поле визначається як варіаційна похідна вільної енергії за магнітним моментом
У випадку, коли розглядається магнетик далеко від температури Кюрі або за нульової температури, то вільна енергія дорівнює внутрішній
.
В формулюванні (1) зберігається довжина вектора намагніченості. Це легко показати, домноживши обидві частини (1) скалярно на , що дасть
Цей факт дає підставу казати про прецесію намагніченості.
Строге виведення рівняння руху намагніченості в континуальному наближенні неможливий, тому часто постулюється можливість формального переходу від рівняння руху оператора спіну
до рівняння (1) шляхом заміни і розкладу поля намагніченості
поблизу точки
в ряд Тейлора. Тут
— комутатор,
— гамільтоніан,
— оператор спіну для n-го вузла ґратки, а
— його радіус-вектор,
— стала ґратки,
— магнетон Бора.
Модифікації
Врахування дисипації, впливу температури чи спін-поляризованих струмів потребує модифікації вихідного рівняння (1), яка зазвичай зводиться до появи додаткових доданків в правій частині (1). Релаксаційні члени можуть мати різну розмірність і різну кількість параметрів. Але для наближеного опису процесів в феромагнетиках за невеликої дисипації може використовуватись рівняння в будь-якій з наведених нижче форм . Кожне з них можна перетворити з одного в інше.
Релаксаційний член в формі Ландау — Ліфшиця
Ландау та Ліфшиць запропонували наступну модифікацію:
де — парметри дисипації. Інколи за параметр дисипації приймають величину
.
Рівняння Ландау — Ліфшиця — Гільберта
Часто використовується релаксаційний член в формі Гільберта:
де — параметр дисипації. Формальний перехід між рівняннями (5) та (6) можна здійснити заміною
В зв'язку з від'ємним значенням гіромагнітного відношення зустрічаються визначення параметрів релаксації з протилежними знаками в (5) та (6) .
Рівняння Блоха — Бломергена
Прикладом рівняння з дисипацією, що допускає зміну довжини вектора намагніченості, може слугувати модифіковане рівняння Блоха чи рівняння Блоха — Бломергена:
де — так звана статистична сприйнятливість, що визначається як відношення намагніченості насичення до абсолютної величини ефективного поля, а
— частота релаксації.
Вплив спін-поляризованого струму
Спін-поляризований струм зазвичай описують додатковим доданком в правій частині (1) вигляду . Один з підходів до його конкретизації полягає в розкладі вектора
за осями, направленими вздовж
,
та
. Тут
— одиничний вектор вздовж намагніченості опорного шару. В припущенні, що довжина вектора намагніченості не змінюється, перша проєкція буде дорівнювати нулю, а дві інші
де коефіцієнти та
пропорційні густині струму, залежать від параметрів структури, що поляризує, та кута між
и
.
Інші форми запису
Для аналітичного аналізу частіше за все рівняння Ландау-Ліфшиця записується в кутових змінних сферичної системи координат та
. В такому випадку вектор намагніченості можна представити як
де — намагніченість насичення. Щоб перейти в (1) до кутових змінних, домножимо рівняння на варіацію намагніченості
, виразивши в кутових змінних проєкцію лівої частини на вісь аплікат. Далі, після запису варіації енергії та намагніченості через варіації кутів, отримаємо
Отримання рівнянь в кутових змінних, що містять додаткові члени, відбувається аналогічно. Так, для запису в формі Ландау — Ліфшиця — Гільберта маємо
Примітки
- Гуревич А. Г., Мелков Г. А. Магнитные колебания и волны. М.: Физматлит, 1994. — 464 с., — на стр. 17.
- Скроцкий, Г. В. Еще раз об уравнении Ландау — Лифшица. УФН
- Подробнее, этот вопрос был рассмотрен, например, в Ахиезер А. И., Барьяхтар В. Г. Пелетминский С. В. Спиновые волны., М.: Наука, 1967, — 368 с. на стр. 44 и Herring C., Kittel C, On the theory of spin waves in ferromagnetic media. — Phys. Rev., 1951, 81 N. 5, p. 869—880.
- В цьому випадку зазвичай обмежуються членами другого порядку малості, оскільки в випадку, коли кожен вузол ґратки є її центром симетрії, доданок, що містить першу похідну за координатою, перетворюється в нуль.
- Гуревич А. Г., Мелков Г. А. Магнитные колебания и волны. М.: Физматлит, 1994. — 464 с., — на стр. 27.
- Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. К теории дисперсии магнитной проницаемости ферромагнитных тел // Ландау Л. Д. Собрание трудов в 2 т. Под ред. Е. М. Лифшица. М.: Наука, 1969. Т. 1. С. 128
- Hubert, Alex; Rudolf Schäfer (1998). Magnetic domains: the analysis of magnetic microstructures. Springer. с. 557. ISBN . на стр. 151.
- Звездин А. К., и др. Обобщенное уравнение Ландау — Лифшица и процессы переноса спинового момента в . [УФН, 178, с. 436–442 (2008) [1]
Література
- Ахиезер, А. И., Барьяхтар, В. Г. Пелетминский, С. В. Спиновые волны., М.: Наука, 1967, — 368 с.
- Гуревич, А. Г., Мелков, Г. А. Магнитные колебания и волны. М.: Физматлит, 1994. — 464 с., .
- Зависляк, И. В., Тычинский, А. В., Физические основы функциональной микроэлектроники. К.: УМК ВО, 1989, — 105. с.
- Звездин, А. К, Звездин, К. А, Хвальковский, А. В. Обобщенное уравнение Ландау — Лифшица и процессы переноса спинового момента в магнитных наноструктурах. УФН, 178 436—442, (2008) http://dx.doi.org/10.3367/UFNr.0178.200804i.0436
- Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. К теории дисперсии магнитной проницаемости ферромагнитных тел. Phys. Zs. Sowjet., 1935, 8, С. 153-169.
- Скроцкий, Г. В. Еще раз об уравнении Ландау — Лифшица. УФН
- Gilbert, T. A phenomenological theory of damping in ferromagnetic materials. IEEE Transactions on Magnetics, 2004, 40, pp. 3443-3449. http://dx.doi.org/10.1109/TMAG.2004.836740
- Hubert, Alex; Rudolf Schäfer (1998). Magnetic domains: the analysis of magnetic microstructures. Springer. с. 557. ISBN .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Rivnya nnya Landa u Li fshicya rivnyannya sho opisuye ruh namagnichenosti v nablizhenni kontinualnoyi modeli u tverdih tilah Vpershe vvedene L D Landau ta Ye M Lifshicem u 1935 roci FormulyuvannyaDlya bezdisipativnogo seredovisha ta za vidsutnosti spin polyarizovanogo strumu rivnyannya Landau Lifshicya zazvichaj zapisuyetsya u viglyadi M t g M H e f f 1 displaystyle frac partial mathbf M partial t gamma mathbf M times mathbf H mathrm eff qquad 1 gde M M r t displaystyle mathbf M equiv mathbf M mathbf r t shilnist magnitnogo momentu namagnichenist g displaystyle gamma deyaka fenomenologichna stala H e f f H e f f r t displaystyle mathbf H mathrm eff equiv mathbf H mathrm eff mathbf r t tak zvane efektivne magnitne pole Rivnyannya v osnovnomu vikoristovuyetsya dlya fero ta ferimagnetikiv U zagalnomu vipadku stala g displaystyle gamma ne dorivnyuye giromagnitnomu spivvidnoshennyu i v ramkah fenomenologichnoyi teoriyi maye rozglyadatis yak velichina sho viznachayetsya z eksperimentu Yihnya vidminnist zumovlena vkladom orbitalnih momentiv Tomu za umovi sho magnitni ioni znahodyatsya v S displaystyle S stani tobto orbitalni momenti vidsutni mozhna vvazhati sho g displaystyle gamma dorivnyuye giromagnitnomu vidnoshennyu z visokim stepenem tochnosti Ce vikonuyetsya dlya CdCr2Se4 Y3Fe5O12 permaloyu Fe20 xNi80 x ta bilshosti inshih fero ta ferimagnitnih materialiv Efektivne magnitne pole viznachayetsya yak variacijna pohidna vilnoyi energiyi za magnitnim momentom H e f f r t d F d M 2 displaystyle mathbf H mathrm eff mathbf r t frac delta F delta mathbf M qquad 2 U vipadku koli rozglyadayetsya magnetik daleko vid temperaturi Kyuri abo za nulovoyi temperaturi to vilna energiya F displaystyle F dorivnyuye vnutrishnij E displaystyle E V formulyuvanni 1 zberigayetsya dovzhina vektora namagnichenosti Ce legko pokazati domnozhivshi obidvi chastini 1 skalyarno na M displaystyle mathbf M sho dast M 2 t 0 3 displaystyle frac partial mathbf M 2 partial t 0 qquad 3 Cej fakt daye pidstavu kazati pro precesiyu namagnichenosti Stroge vivedennya rivnyannya ruhu namagnichenosti v kontinualnomu nablizhenni nemozhlivij tomu chasto postulyuyetsya mozhlivist formalnogo perehodu vid rivnyannya ruhu operatora spinu S n displaystyle mathbf S n i ℏ S n t H S n 4 displaystyle i hbar frac partial mathbf S n partial t mathcal H mathbf S n qquad 4 do rivnyannya 1 shlyahom zamini S n a 3 2 m B M r n displaystyle mathbf S n to frac a 3 2 mu B mathbf M mathbf r n i rozkladu polya namagnichenosti M r n n 0 displaystyle mathbf M mathbf r n n 0 poblizu tochki r n displaystyle mathbf r n v ryad Tejlora Tut displaystyle bullet bullet komutator H displaystyle mathcal H gamiltonian S n displaystyle mathbf S n operator spinu dlya n go vuzla gratki a r n displaystyle mathbf r n jogo radius vektor a displaystyle a stala gratki m B displaystyle mu B magneton Bora ModifikaciyiVrahuvannya disipaciyi vplivu temperaturi chi spin polyarizovanih strumiv potrebuye modifikaciyi vihidnogo rivnyannya 1 yaka zazvichaj zvoditsya do poyavi dodatkovih dodankiv v pravij chastini 1 Relaksacijni chleni mozhut mati riznu rozmirnist i riznu kilkist parametriv Ale dlya nablizhenogo opisu procesiv v feromagnetikah za nevelikoyi disipaciyi mozhe vikoristovuvatis rivnyannya v bud yakij z navedenih nizhche form Kozhne z nih mozhna peretvoriti z odnogo v inshe Relaksacijnij chlen v formi Landau Lifshicya Landau ta Lifshic zaproponuvali nastupnu modifikaciyu M t g M H e f f g l M 2 M M H e f f 5 displaystyle frac partial mathbf M partial t gamma mathbf M times mathbf H mathrm eff frac gamma lambda M 2 left mathbf M times mathbf M times mathbf H mathrm eff right qquad 5 de l displaystyle lambda parmetri disipaciyi Inkoli za parametr disipaciyi prijmayut velichinu l 1 g l displaystyle lambda 1 gamma lambda Rivnyannya Landau Lifshicya Gilberta Chasto vikoristovuyetsya relaksacijnij chlen v formi Gilberta M t g M H e f f a M M M t 6 displaystyle frac partial mathbf M partial t gamma mathbf M times mathbf H mathrm eff frac alpha M left mathbf M times frac partial mathbf M partial t right qquad 6 de a displaystyle alpha parametr disipaciyi Formalnij perehid mizh rivnyannyami 5 ta 6 mozhna zdijsniti zaminoyu g g 1 a 2 l a M 1 a 2 7 displaystyle gamma to frac gamma 1 alpha 2 quad lambda to frac alpha M 1 alpha 2 qquad 7 V zv yazku z vid yemnim znachennyam giromagnitnogo vidnoshennya zustrichayutsya viznachennya parametriv relaksaciyi z protilezhnimi znakami v 5 ta 6 Rivnyannya Bloha Blomergena Prikladom rivnyannya z disipaciyeyu sho dopuskaye zminu dovzhini vektora namagnichenosti mozhe sluguvati modifikovane rivnyannya Bloha chi rivnyannya Bloha Blomergena M t g M H e f f w r M x 0 H e f f 8 displaystyle frac partial mathbf M partial t gamma mathbf M times mathbf H mathrm eff omega r mathbf M chi 0 mathbf H mathrm eff qquad 8 de x 0 displaystyle chi 0 tak zvana statistichna sprijnyatlivist sho viznachayetsya yak vidnoshennya namagnichenosti nasichennya do absolyutnoyi velichini efektivnogo polya a w r displaystyle omega r chastota relaksaciyi Vpliv spin polyarizovanogo strumu Spin polyarizovanij strum zazvichaj opisuyut dodatkovim dodankom v pravij chastini 1 viglyadu g T displaystyle gamma mathbf T Odin z pidhodiv do jogo konkretizaciyi polyagaye v rozkladi vektora g T displaystyle gamma mathbf T za osyami napravlenimi vzdovzh M displaystyle mathbf M M m r e f displaystyle mathbf M times mathbf m mathrm ref ta M M m r e f displaystyle mathbf M times mathbf M times mathbf m mathrm ref Tut m r e f displaystyle mathbf m mathrm ref odinichnij vektor vzdovzh namagnichenosti opornogo sharu V pripushenni sho dovzhina vektora namagnichenosti ne zminyuyetsya persha proyekciya bude dorivnyuvati nulyu a dvi inshi T g a J M s M M m r e f T g b J M m r e f 9 displaystyle mathbf T parallel frac gamma a J M s mathbf M times mathbf M times mathbf m mathrm ref quad mathbf T perp gamma b J mathbf M times mathbf m mathrm ref qquad 9 de koeficiyenti a J displaystyle a J ta b J displaystyle b J proporcijni gustini strumu zalezhat vid parametriv strukturi sho polyarizuye ta kuta mizh M displaystyle mathbf M i m r e f displaystyle mathbf m mathrm ref Inshi formi zapisuDlya analitichnogo analizu chastishe za vse rivnyannya Landau Lifshicya zapisuyetsya v kutovih zminnih sferichnoyi sistemi koordinat 8 displaystyle theta ta ϕ displaystyle phi V takomu vipadku vektor namagnichenosti mozhna predstaviti yak M x M y M s sin 8 e i ϕ M z M s cos 8 displaystyle M x M y M s sin theta e i phi quad M z M s cos theta de M s displaystyle M s namagnichenist nasichennya Shob perejti v 1 do kutovih zminnih domnozhimo rivnyannya na variaciyu namagnichenosti d M displaystyle delta mathbf M virazivshi v kutovih zminnih proyekciyu livoyi chastini na vis aplikat Dali pislya zapisu variaciyi energiyi ta namagnichenosti cherez variaciyi kutiv otrimayemo sin 8 8 t g M s d E d ϕ sin 8 ϕ t g M s d E d 8 10 displaystyle sin theta frac partial theta partial t frac gamma M s dfrac delta E delta phi quad sin theta frac partial phi partial t frac gamma M s dfrac delta E delta theta qquad 10 Otrimannya rivnyan v kutovih zminnih sho mistyat dodatkovi chleni vidbuvayetsya analogichno Tak dlya zapisu v formi Landau Lifshicya Gilberta mayemo sin 8 8 t g M s d E d ϕ a sin 2 8 ϕ t sin 8 ϕ t g M s d E d 8 a 8 t 11 displaystyle sin theta frac partial theta partial t frac gamma M s dfrac delta E delta phi alpha sin 2 theta frac partial phi partial t quad sin theta frac partial phi partial t frac gamma M s dfrac delta E delta theta alpha frac partial theta partial t qquad 11 PrimitkiGurevich A G Melkov G A Magnitnye kolebaniya i volny M Fizmatlit 1994 464 s ISBN 5 02 014366 9 na str 17 Skrockij G V Eshe raz ob uravnenii Landau Lifshica UFN Podrobnee etot vopros byl rassmotren naprimer v Ahiezer A I Baryahtar V G Peletminskij S V Spinovye volny M Nauka 1967 368 s na str 44 i Herring C Kittel C On the theory of spin waves in ferromagnetic media Phys Rev 1951 81 N 5 p 869 880 V comu vipadku zazvichaj obmezhuyutsya chlenami drugogo poryadku malosti oskilki v vipadku koli kozhen vuzol gratki ye yiyi centrom simetriyi dodanok sho mistit pershu pohidnu za koordinatoyu peretvoryuyetsya v nul Gurevich A G Melkov G A Magnitnye kolebaniya i volny M Fizmatlit 1994 464 s ISBN 5 02 014366 9 na str 27 Landau L D Lifshic E M K teorii dispersii magnitnoj pronicaemosti ferromagnitnyh tel Landau L D Sobranie trudov v 2 t Pod red E M Lifshica M Nauka 1969 T 1 S 128 Hubert Alex Rudolf Schafer 1998 Magnetic domains the analysis of magnetic microstructures Springer s 557 ISBN 3540641084 na str 151 Zvezdin A K i dr Obobshennoe uravnenie Landau Lifshica i processy perenosa spinovogo momenta v UFN 178 s 436 442 2008 1 LiteraturaAhiezer A I Baryahtar V G Peletminskij S V Spinovye volny M Nauka 1967 368 s Gurevich A G Melkov G A Magnitnye kolebaniya i volny M Fizmatlit 1994 464 s ISBN 5 02 014366 9 Zavislyak I V Tychinskij A V Fizicheskie osnovy funkcionalnoj mikroelektroniki K UMK VO 1989 105 s Zvezdin A K Zvezdin K A Hvalkovskij A V Obobshennoe uravnenie Landau Lifshica i processy perenosa spinovogo momenta v magnitnyh nanostrukturah UFN 178 436 442 2008 http dx doi org 10 3367 UFNr 0178 200804i 0436 Landau L D Lifshic E M K teorii dispersii magnitnoj pronicaemosti ferromagnitnyh tel Phys Zs Sowjet 1935 8 S 153 169 Skrockij G V Eshe raz ob uravnenii Landau Lifshica UFN Gilbert T A phenomenological theory of damping in ferromagnetic materials IEEE Transactions on Magnetics 2004 40 pp 3443 3449 http dx doi org 10 1109 TMAG 2004 836740 Hubert Alex Rudolf Schafer 1998 Magnetic domains the analysis of magnetic microstructures Springer s 557 ISBN 3540641084