Рівняння Ландау-Ліфшиця (магнетизм)

Рівня́ння Ланда́у — Лі́фшиця — рівняння, що описує рух намагніченості в наближенні континуальної моделі у твердих тілах. Вперше введене Л. Д. Ландау та Є. М. Ліфшицем у 1935 році.

Формулювання

Для бездисипативного середовища та за відсутності спін-поляризованого струму рівняння Ландау-Ліфшиця зазвичай записується у вигляді

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {M} }{\partial t}}=-|\gamma |[\mathbf {M} \times \mathbf {H} ^{\mathrm {eff} }],\qquad (1)}$

где ${\displaystyle \mathbf {M} \equiv \mathbf {M} (\mathbf {r} ,t)}$ — щільність магнітного моменту (намагніченість), ${\displaystyle \gamma }$ — деяка феноменологічна стала, ${\displaystyle \mathbf {H} ^{\mathrm {eff} }\equiv \mathbf {H} ^{\mathrm {eff} }(\mathbf {r} ,t)}$ — так зване ефективне магнітне поле.

Рівняння в основному використовується для феро- та феримагнетиків. У загальному випадку стала ${\displaystyle \gamma }$ не дорівнює гіромагнітному співвідношенню і в рамках феноменологічної теорії має розглядатись як величина, що визначається з експерименту. Їхня відмінність зумовлена вкладом орбітальних моментів. Тому за умови, що магнітні іони знаходяться в ${\displaystyle S}$-стані (тобто орбітальні моменти відсутні), можна вважати, що ${\displaystyle \gamma }$ дорівнює гіромагнітному відношенню з високим степенем точності.. Це виконується для CdCr₂Se₄,  Y₃Fe₅O₁₂, пермалою Fe_20+xNi_80-x та більшості інших феро- та феримагнітних матеріалів.

Ефективне магнітне поле визначається як варіаційна похідна вільної енергії за магнітним моментом

${\displaystyle \mathbf {H} ^{\mathrm {eff} }(\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\delta F}{\delta \mathbf {M} }}.\qquad (2)}$

У випадку, коли розглядається магнетик далеко від температури Кюрі або за нульової температури, то вільна енергія ${\displaystyle F}$ дорівнює внутрішній ${\displaystyle E}$.

В формулюванні (1) зберігається довжина вектора намагніченості. Це легко показати, домноживши обидві частини (1) скалярно на ${\displaystyle \mathbf {M} }$, що дасть

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {M} ^{2}}{\partial t}}=0.\qquad (3)}$

Цей факт дає підставу казати про прецесію намагніченості.

Строге виведення рівняння руху намагніченості в континуальному наближенні неможливий, тому часто постулюється можливість формального переходу від рівняння руху оператора спіну ${\displaystyle \mathbf {S} _{n}}$

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \mathbf {S} _{n}}{\partial t}}=[{\mathcal {H}},\mathbf {S} _{n}],\qquad (4)}$

до рівняння (1) шляхом заміни ${\displaystyle \mathbf {S} _{n}\to -{\frac {a^{3}}{2\mu _{B}}}\mathbf {M} (\mathbf {r} _{n})}$ і розкладу поля намагніченості ${\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {r} _{n+n_{0}})}$ поблизу точки ${\displaystyle \mathbf {r} _{n}}$ в ряд Тейлора. Тут ${\displaystyle [\bullet ,\bullet ]}$ — комутатор, ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ — гамільтоніан, ${\displaystyle \mathbf {S} _{n}}$ — оператор спіну для n-го вузла ґратки, а ${\displaystyle \mathbf {r} _{n}}$ — його радіус-вектор, ${\displaystyle a}$ — стала ґратки, ${\displaystyle \mu _{B}}$ — магнетон Бора.

Модифікації

Врахування дисипації, впливу температури чи спін-поляризованих струмів потребує модифікації вихідного рівняння (1), яка зазвичай зводиться до появи додаткових доданків в правій частині (1). Релаксаційні члени можуть мати різну розмірність і різну кількість параметрів. Але для наближеного опису процесів в феромагнетиках за невеликої дисипації може використовуватись рівняння в будь-якій з наведених нижче форм . Кожне з них можна перетворити з одного в інше.

Релаксаційний член в формі Ландау — Ліфшиця

Ландау та Ліфшиць запропонували наступну модифікацію:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {M} }{\partial t}}=-|\gamma |[\mathbf {M} \times \mathbf {H} ^{\mathrm {eff} }]-{\frac {|\gamma |\lambda }{M^{2}}}\left[\mathbf {M} \times [\mathbf {M} \times \mathbf {H} ^{\mathrm {eff} }]\right],\qquad (5)}$

де ${\displaystyle \lambda }$ — парметри дисипації. Інколи за параметр дисипації приймають величину ${\displaystyle \lambda _{1}=|\gamma |\lambda }$.

Рівняння Ландау — Ліфшиця — Гільберта

Часто використовується релаксаційний член в формі Гільберта:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {M} }{\partial t}}=-|\gamma |[\mathbf {M} \times \mathbf {H} ^{\mathrm {eff} }]+{\frac {\alpha }{M}}\left[\mathbf {M} \times {\frac {\partial \mathbf {M} }{\partial t}}\right],\qquad (6)}$

де ${\displaystyle \alpha }$ — параметр дисипації. Формальний перехід між рівняннями (5) та (6) можна здійснити заміною

${\displaystyle \gamma \to {\frac {\gamma }{1+\alpha ^{2}}},\quad \lambda \to {\frac {\alpha M}{1+\alpha ^{2}}}.\qquad (7)}$

В зв'язку з від'ємним значенням гіромагнітного відношення зустрічаються визначення параметрів релаксації з протилежними знаками в (5) та (6) .

Рівняння Блоха — Бломергена

Прикладом рівняння з дисипацією, що допускає зміну довжини вектора намагніченості, може слугувати модифіковане рівняння Блоха чи рівняння Блоха — Бломергена:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {M} }{\partial t}}=-|\gamma |[\mathbf {M} \times \mathbf {H} ^{\mathrm {eff} }]-\omega _{r}(\mathbf {M} -\chi _{0}\mathbf {H} ^{\mathrm {eff} }),\qquad (8)}$

де ${\displaystyle \chi _{0}}$ — так звана статистична сприйнятливість, що визначається як відношення намагніченості насичення до абсолютної величини ефективного поля, а ${\displaystyle \omega _{r}}$ — частота релаксації.

Вплив спін-поляризованого струму

Спін-поляризований струм зазвичай описують додатковим доданком в правій частині (1) вигляду ${\displaystyle |\gamma |\mathbf {T} }$. Один з підходів до його конкретизації полягає в розкладі вектора ${\displaystyle |\gamma |\mathbf {T} }$ за осями, направленими вздовж ${\displaystyle \mathbf {M} }$, ${\displaystyle [\mathbf {M} \times \mathbf {m} _{\mathrm {ref} }]}$ та ${\displaystyle \mathbf {M} \times [\mathbf {M} \times \mathbf {m} _{\mathrm {ref} }]}$. Тут ${\displaystyle \mathbf {m} _{\mathrm {ref} }}$ — одиничний вектор вздовж намагніченості опорного шару. В припущенні, що довжина вектора намагніченості не змінюється, перша проєкція буде дорівнювати нулю, а дві інші

${\displaystyle \mathbf {T} _{\parallel }=-{\frac {|\gamma |a_{J}}{M_{s}}}\mathbf {M} \times [\mathbf {M} \times \mathbf {m} _{\mathrm {ref} }],\quad \mathbf {T} _{\perp }=|\gamma |b_{J}[\mathbf {M} \times \mathbf {m} _{\mathrm {ref} }],\qquad (9)}$

де коефіцієнти ${\displaystyle a_{J}}$ та ${\displaystyle b_{J}}$ пропорційні густині струму, залежать від параметрів структури, що поляризує, та кута між ${\displaystyle \mathbf {M} }$ и ${\displaystyle \mathbf {m} _{\mathrm {ref} }}$.

Інші форми запису

Для аналітичного аналізу частіше за все рівняння Ландау-Ліфшиця записується в кутових змінних сферичної системи координат ${\displaystyle \theta }$ та ${\displaystyle \phi }$. В такому випадку вектор намагніченості можна представити як

${\displaystyle M_{x}+M_{y}=M_{s}\sin \theta e^{i\phi },\quad M_{z}=M_{s}\cos \theta ,}$

де ${\displaystyle M_{s}}$ — намагніченість насичення. Щоб перейти в (1) до кутових змінних, домножимо рівняння на варіацію намагніченості ${\displaystyle \delta \mathbf {M} }$, виразивши в кутових змінних проєкцію лівої частини на вісь аплікат. Далі, після запису варіації енергії та намагніченості через варіації кутів, отримаємо

${\displaystyle \sin \theta {\frac {\partial \theta }{\partial t}}=-{\frac {|\gamma |}{M_{s}}}{\dfrac {\delta E}{\delta \phi }},\quad \sin \theta {\frac {\partial \phi }{\partial t}}={\frac {|\gamma |}{M_{s}}}{\dfrac {\delta E}{\delta \theta }}.\qquad (10)}$

Отримання рівнянь в кутових змінних, що містять додаткові члени, відбувається аналогічно. Так, для запису в формі Ландау — Ліфшиця — Гільберта маємо

${\displaystyle \sin \theta {\frac {\partial \theta }{\partial t}}=-{\frac {|\gamma |}{M_{s}}}{\dfrac {\delta E}{\delta \phi }}-\alpha \sin ^{2}\theta {\frac {\partial \phi }{\partial t}},\quad \sin \theta {\frac {\partial \phi }{\partial t}}={\frac {|\gamma |}{M_{s}}}{\dfrac {\delta E}{\delta \theta }}+\alpha {\frac {\partial \theta }{\partial t}}.\qquad (11)}$

Примітки

1. Гуревич А. Г., Мелков Г. А. Магнитные колебания и волны. М.: Физматлит, 1994. — 464 с., —  на стр. 17.
2. Скроцкий, Г. В. Еще раз об уравнении Ландау — Лифшица. УФН
3. Подробнее, этот вопрос был рассмотрен, например, в Ахиезер А. И., Барьяхтар В. Г. Пелетминский С. В. Спиновые волны., М.: Наука, 1967, — 368 с. на стр. 44 и Herring C., Kittel C, On the theory of spin waves in ferromagnetic media. — Phys. Rev., 1951, 81 N. 5, p. 869—880.
4. В цьому випадку зазвичай обмежуються членами другого порядку малості, оскільки в випадку, коли кожен вузол ґратки є її центром симетрії, доданок, що містить першу похідну за координатою, перетворюється в нуль.
5. Гуревич А. Г., Мелков Г. А. Магнитные колебания и волны. М.: Физматлит, 1994. — 464 с., —  на стр. 27.
6. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. К теории дисперсии магнитной проницаемости ферромагнитных тел // Ландау Л. Д. Собрание трудов в 2 т. Под ред. Е. М. Лифшица. М.: Наука, 1969. Т. 1. С. 128
7. Hubert, Alex; Rudolf Schäfer (1998). Magnetic domains: the analysis of magnetic microstructures. Springer. с. 557. ISBN . на стр. 151.
8. Звездин А. К., и др. Обобщенное уравнение Ландау — Лифшица и процессы переноса спинового момента в . [УФН, 178, с. 436–442 (2008) [1]

Література

• Ахиезер, А. И., Барьяхтар, В. Г. Пелетминский, С. В. Спиновые волны., М.: Наука, 1967, — 368 с.
• Гуревич, А. Г., Мелков, Г. А. Магнитные колебания и волны. М.: Физматлит, 1994. — 464 с.,  .
• Зависляк, И. В., Тычинский, А. В., Физические основы функциональной микроэлектроники. К.: УМК ВО, 1989, — 105. с.
• Звездин, А. К, Звездин, К. А, Хвальковский, А. В. Обобщенное уравнение Ландау — Лифшица и процессы переноса спинового момента в магнитных наноструктурах. УФН, 178 436—442, (2008) http://dx.doi.org/10.3367/UFNr.0178.200804i.0436
• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. К теории дисперсии магнитной проницаемости ферромагнитных тел. Phys. Zs. Sowjet., 1935, 8, С. 153-169.
• Скроцкий, Г. В. Еще раз об уравнении Ландау — Лифшица. УФН
• Gilbert, T. A phenomenological theory of damping in ferromagnetic materials. IEEE Transactions on Magnetics, 2004, 40, pp. 3443-3449. http://dx.doi.org/10.1109/TMAG.2004.836740
• Hubert, Alex; Rudolf Schäfer (1998). Magnetic domains: the analysis of magnetic microstructures. Springer. с. 557. ISBN .