Рівнобедрена трапеція

Рівнобічна трапеція або рівнобедрена трапеція, в геометрії Евкліда, це опуклий чотирикутник з лінією симетрії, що ділить навпіл одну пару протилежних сторін. У будь-якій рівнобічній трапеції дві протилежні сторони (основи) паралельні, а дві інші сторони (ребра) мають однакову довжину (Таку ж властивість має паралелограм). Діагоналі також однакової довжини. Кути при основі рівнобедреної трапеції рівні (насправді існують дві пари рівних кутів при основі, де один кут при основі є суміжним кутом для іншого базового, при іншій основі).

Рівнобічна трапеція з вісю симетрії.

Рівнобічна трапеція є окремим випадком трапеції.

Окремі випадки

Окремі випадки рівнобедреної трапеції

Прямокутники та квадрати зазвичай вважають окремими випадками рівнобедреної трапеції, але деякі джерела виключають їх. Іншим окремим випадком є трапеція з трьома рівними сторонами, часом також відома як тристороння трапеція. Вона може також розглядатися як відрізана частина з правильного багатокутника з 5 сторонами або більшою кількістю сторін, від якого відсікаються 4 послідовні вершини.

Самоперетини

Будь-який чотирикутник без самоперетинів та з лише однією віссю симетрії повинен бути або рівнобедреною трапецією або дельтоїдом. Проте, якщо допускаються перетини сторін, то множина симетричних чотирикутників повинна бути розширена за рахунок включення також рівнобедрених трапецій з перетинами та чотирикутниками з перетинами, у яких схрещені сторони мають однакову довжину, а інші сторони паралельні, і антипаралелограми — перехрещенні чотирикутниками, в яких протилежні сторони мають рівну довжину.

Кожен антипаралелограм має рівнобедрену трапецію, як його опуклу оболонку, і може бути утворений з діагоналей і непаралельних сторін рівнобедреної трапеції.

Опукла рівнобедрена трапеція	Рівнобедрена трапеція, що перетинається	Антипаралелограм

Властивості

Якщо відомо, що чотирикутник є трапецією, то не варто перевіряти, що ребра однакової довжини для того, щоб гарантувати, що це рівнобедрена трапеція (взагалі це не так, оскільки ромб є окремим випадком трапеції з ребрами однакової довжини, але не є рівнобедреною трапецією, тому що в ньому відсутня лінія симетрії, яка проходить через середини протилежних сторін); для того, щоб виокремити рівнобедрену трапецію серед трапецій достатньо щоб виконувалась якась одна умова з нижче наведених:

• Діагоналі мають однакову довжину.
• Кути при основі мають однакову міру.
• Відрізок, який з'єднує середини паралельних сторін перпендикулярний до основ.
• Протилежні кути є суміжними, що в свою чергу означає, що рівнобедрені трапеції є вписаними чотирикутниками.
• Діагоналі ділять одна одну на відрізки з попарно рівними довжинами; з точки зору малюнку, наведеного нижче, AE = DE, BE = CE (додаткова умова AE ≠ CE дозволяє виключити прямокутники).

Якщо прямокутники включені в клас трапецій, то можна стисло визначити рівнобедрену трапецію як «вписаний чотирикутник з рівними діагоналями», або як «вписаний чотирикутник з парою паралельних сторін» або як «опуклий чотирикутник з лінією симетрії, що проходить через середини протилежних сторін».

Кути

У рівнобічної трапеції кути при основі попарно однакові. На малюнку нижче кути ∠ABC ,та∠DCB є тупими кутами однакової величини, в той час як кути ∠BAD та ∠CDA — гострі кути, також однакової величини. Оскільки лінії AD та BC паралельні, то кути, прилеглі до протилежних основ є суміжними, тобто кути ∠ABC + ∠BAD = 180°.

Діагоналі та висоти

Ще одна рівнобедрена трапеція.

Діагоналі рівнобедреної трапеції мають однакову довжину, тобто кожна рівнобедрена трапеція є чотирикутником з рівними діагоналями. Як видно на зображенні, діагоналі AC і BD мають однакову довжину (AC = BD) і ділять одна одну на відрізки однакової довжини (AE = DE та BE = CE). Відношення в якому кожна діагональ ділиться, дорівнює відношенню довжин паралельних сторін, які вони перетинають

${\displaystyle {\frac {AE}{EC}}={\frac {DE}{EB}}={\frac {AD}{BC}}.}$

Довжина кожної діагоналі, відповідно до теореми Птолемея, розраховується за формулою:

${\displaystyle p={\sqrt {ab+c^{2}}}}$

Де а і b — довжини паралельних сторін AD і BC, і c — довжина кожної з бічних сторін AB та CD. Висота, відповідно до теореми Піфагора, розраховується за формулою:

${\displaystyle h={\sqrt {p^{2}-\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {4c^{2}-(a-b)^{2}}}.}$

Відстань від точки Е до основи AD розраховується за формулою:

${\displaystyle d={\frac {ah}{a+b}}}$

Де а і b — довжини паралельних сторін AD і BC, і h — висота трапеції .

Площа рівнобічної трапеції

Площа рівнобедреної (як і будь-якої) трапеції дорівнює середній лінії помноженій на висоту. На малюнку праворуч, якщо записати AD = a, та BC = b, і висота h є довжиною відрізка прямої між AD і BC, яка перпендикулярна до них, тоді площа K знаходиться так:

${\displaystyle K={\frac {h}{2}}\left(a+b\right).}$

Якщо замість висоти трапеції, відома довжина бічної сторони AB =CD = c, то площа може бути обчислена з використанням (формули Брахмагупти) для площі вписаного чотирикутника, яка у випадку двох рівних сторін спрощується до:

${\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)^{2}}},}$

де ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+2c)}$ — півпериметр трапеції. Ця формула аналогічна формулі Герона для обчислення площі трикутника. Попередня формула для площа також може бути записана у вигляді:

${\displaystyle K={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b)^{2}(a-b+2c)(b-a+2c)}}.}$

Описане коло

Радіус описаного кола розраховується за формулою:

${\displaystyle R=c{\sqrt {\frac {ab+c^{2}}{4c^{2}-(a-b)^{2}}}}.}$

У прямокутнику, a = b, і вираз спрощується до: ${\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}}$.

Див. також

• Описана трапеція

Примітки

1. Геометрія для загальноосвітніх навчальних закладів з поглибленим вивченням математики: підруч. для 8 кл./ А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, М. С. Якір. Х.: Гімназія, 2016. стор. 56.
2. (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 19 липня 2011. Процитовано 4 вересня 2017.
3. Trapezoid at Math24.net: Formulas and Tables [1] [ 2018-06-28 у Wayback Machine.] Accessed 1 July 2014.