Ряд Лорана

Ряд Лорана — двостороннійстепеневий ряд, у який розкладається комплексна функція f(z). Ряди Лорана застосовують для дослідження комплексної функції у тих випадках, коли розклад у ряд Тейлора не може бути застосований. Їх названо на честь П'єра Альфонса Лорана, який уперше опублікував свої дослідження цих рядів 1843 року. Карл Вейєрштрасс, можливо, застосовував такі ряди ще у 1841 році, але не опублікував своїх результатів.

Розклад в ряд Лорана можливий у деякому скінченому кільці, з центром в точці c. Шлях інтегрування γ обирається з кільця, і від вибору того чи іншого шляху інтегрування у фіксованому кільці коефіцієнти розкладу не змінюються.

Для комплексної функції f(z), аналітичної у скінченому кільці з центром у точці c, у довільній точці кільця виконується рівність:

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}}$

де члени ряду a_n визначаються за формулою:

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)\,dz}{(z-c)^{n+1}}}.\,}$

Шлях інтегрування γ є довільним замкненим , що лежить у кільці і містить точку с.

Властивості

• Головною частиною ряду Лорана називаються члени з від'ємними степенями:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{-n}{(z-a)^{(-n)}}}$

• Правильною частиною (Тейлорівською частиною) ряду Лорана називаються члени з невід'ємними степенями:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-a)^{n}}$

• Якщо ряд Лорана збігається, то його внутрішність області збіжності є кільцем:

${\displaystyle D=\{z\in \mathbb {C} |r<|z-a|<R<\infty \}}$

• У своєму кільці збіжності ${\displaystyle D}$ ряд Лорана збігається абсолютно.

• Функція f(z) в певній точці допускає єдиний розклад у ряд Лорана (якщо такий розклад існує).

Теорема Лорана

Функція f(z) і аналітична в скінченому кільці ${\displaystyle D=\{z\in \mathbb {C} |r<|z-a|<R<\infty \}}$ в довільній точці цього кільця допускає розклад у збіжний ряд Лорана.

Ряд Лорана є зручним інструментом для оцінки поведінки функції в околі ізольованої особливої точки. Залежно від головної частини ряду, особливу точку визначають як:

• усувна особлива точка, якщо головна частина не містить ненульових членів;

• простий полюс, якщо головна частина має скінчену кількість членів;

• істотно особлива точка, якщо головна частина має нескінчену кількість членів.

Приклади

Знайти розклад в ряд Лорана в точці ${\displaystyle z=i}$ функції

${\displaystyle {\frac {1}{z^{2}+1}}.}$

Спочатку відзначимо

${\displaystyle {\frac {1}{z^{2}+1}}={\frac {1}{(z-i)(z+i)}}.}$

Далі,

${\displaystyle {\frac {1}{z+i}}={\frac {1}{2i+(z-i)}}=-{\frac {i}{2}}{\frac {1}{1-{\frac {i}{2}}(z-i)}}.}$

Останній дріб може бути розкладений у геометричну прогресію відносно ${\displaystyle z-i}$,

${\displaystyle {\frac {1}{1-{\frac {i}{2}}(z-i)}}=1+{\frac {i}{2}}(z-i)+\left({\frac {i}{2}}(z-i)\right)^{2}+\left({\frac {i}{2}}(z-i)\right)^{3}+\cdots }$

Множимо прогресію на -i/2, і ділимо обидві частини на z - i:

${\displaystyle {\frac {1}{z^{2}+1}}=-\left({\frac {i}{2}}\right){\frac {1}{z-i}}-\left({\frac {i}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {i}{2}}\right)^{3}(z-i)-\left({\frac {i}{2}}\right)^{4}(z-i)^{2}-\cdots }$

Як другий приклад можна розкласти в ряд Лорана квадрат вищерозглянутої функції

${\displaystyle {\frac {1}{(z^{2}+1)^{2}}}.}$

Для цього необхідно піднести до квадрата отриману для попереднього прикладу прогресію. Зазвичай, піднесення до степеня нескінченної прогресії є складною операцією. Однак для обчислення перших ${\displaystyle n}$ членів ряду Лорана, нам достатньо перемножити між собою перші ${\displaystyle n}$ членів вихідної прогресії:

${\displaystyle {\frac {-1}{4(z-i)^{2}}}-{\frac {i}{4(z-i)}}+{\frac {3}{16}}+\cdots }$

Примітки

1. Двостророннім називають степеневий ряд, що містить доданки як додатнього, так і від'ємного степеня.

Джерела