Раціональна поверхня

Раціональна поверхня — це поверхня, біраціонально еквівалентна проєктивній площині, або, іншими словами, ^[en] розмірності два. Раціональні поверхні є найпростішими з приблизно 10 класів поверхонь комплексних поверхонь, і це були перші досліджені поверхні.

Структура

Будь-яку неособливу раціональну поверхню можна отримати неодноразовим роздуттям мінімальної раціональної поверхні. Мінімальними раціональними поверхнями є проєктивна площина і ^[en]${\displaystyle \Sigma _{r}}$ для ${\displaystyle r=0}$ або ${\displaystyle r\geq 2}$.

Інваріанти: Всі ^[en][] рівні 0 і фундаментальна група тривіальна.

(Ромб Ходжа):

 1  0 0  1 1+n 1,  0 0  1 

де n дорівнює 0 для проєктивної площини, 1 для ^[en] і більше від 1 для інших раціональних поверхонь.

^[en] є непарною унімодулярною ґраткою ${\displaystyle I_{1,n}}$, за винятком поверхонь Гірцебруха ${\displaystyle \Sigma _{2m}}$, для яких це парна унімодулярна ґратка _{${\displaystyle II_{1,1}}$}.

Теорема Кастельнуово

Гвідо Кастельнуово довів, що будь-яка комплексна поверхня, для якої ${\displaystyle q}$ і ${\displaystyle P_{2}}$ (іррегулярність і другий плюрирод) дорівнюють нулю, є раціональною. Це використовується в класифікації Енрікеса — Кодайри для розпізнавання раціональних поверхонь. Зарицький довів, що теорема Кастельнуово істинна також для полів додатної характеристики.

З теореми Кастельнуово випливає також, що будь-яка ^[en] комплексна поверхня раціональна. Більшість уніраціональних комплексних многовидів розмірності 3 і вище не є раціональними. Для характеристики ${\displaystyle p>0}$ Зарицький знайшов приклад уніраціональних поверхонь (^[en]), які не є раціональними.

Деякий час було неясно, чи є комплексні поверхні з нульовими ${\displaystyle q}$ і ${\displaystyle P_{1}}$ раціональними, але Федеріго Енрікес знайшов контрприклад (^[en]).

Приклади раціональних поверхонь

• ^[en]: вкладення степеня 6 проєктивної площини в ${\displaystyle P^{4}}$, визначене 10 точками в загальному положенні.
• ^[en]
• ^[en]
• Кубічні поверхні. Неособливі кубічні поверхні ізоморфні роздуттю проєктивної площини в 6 точках, і є площинами Фано. Існують іменовані приклади — кубика Ферма, ^[en] і ^[en].
• ^[en] (поверхні Фано)
• Поверхня Еннепера
• ^[en]${\displaystyle \Sigma _{n}}$
• ${\displaystyle P^{1}\times P^{1}}$. Добуток двох проєктивних прямих є поверхнею Гірцебруха ${\displaystyle \Sigma _{0}}$_.
• Проєктивна площина
• ^[en]. Перетин двох квадрик. Поверхня ізоморфна проєктивній площині, роздутій у 5 точках.
• ^[en]. Поверхня в ${\displaystyle P^{4}}$ з особливостями, яка біраціональна проєктивній площині.
• ^[en], узагальнення поверхонь Бордіга.
• Поверхня Веронезе. Вкладення проєктивної площини в ${\displaystyle P^{5}}$.

Див. також

• ^[en]

Примітки

1. Zariski, 1958.

Література

• Wolf P. Barth, Klaus Hulek, Chris A.M. Peters, Antonius Van de Ven. Compact Complex Surfaces. — Berlin : . — Т. 4. — (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge) — .
• ^[ru]. Complex algebraic surfaces. — 2nd. — Cambridge University Press, 1996. — Т. 34. — (London Mathematical Society Student Texts) — .
• Oscar Zariski. On Castelnuovo's criterion of rationality p_a = P₂ = 0 of an algebraic surface // Illinois Journal of Mathematics. — 1958. — Т. 2 (19 червня). — С. 303–315. — ISSN 0019-2082.