Радикал Джекобсона

Радикалом Джекобсона кільця R називається множина елементів з R, які анулюють всі прості R-модулі, або саме кільце R, якщо простих R-модулів не існує. Радикал кільця R позначається через J(R). Тобто:

${\displaystyle J(R)=\{x\in R|sx=0,\quad \forall s\in S,\forall S\in Sm(R)\}}$

де Sm(R) позначає множину простих модулів над кільцем R.

Радикал Джекобсона був введений і детально досліджений американським математиком (N. Jacobson) у 1945 році.

Еквівалентні визначення

Радикал Джекобсона завжди існує і може бути охарактеризований багатьма способами:

• Радикал Джекобсона кільця R — ідеал J{R) асоціативного кільця А, що задовольняє наступним двом умовам:

1. J (А) — найбільший квазірегулярний ідеал в R (елемент ${\displaystyle a\in R}$ називається квазірегулярним, якщо рівняння а + х - ах=0 має розв'язок ${\displaystyle x\in R.}$ Для кілець з одиницею це еквівалентно оборотності елемента 1 - a);
2. у фактор-кільці R/J{R) немає квазірегулярних ідеалів, окрім нульового.

• J(R) є перетином ядер всіх незвідних представлень кільця;
• J(R) є перетином всіх регулярних максимальних правих ідеалів і перетин всіх регулярних максимальних лівих ідеалів.

Приклади

• Радикал Джекобсона довільного поля рівний {0}. Радикал Джекобсона кільця цілих чисел рівний {0}.
• Радикал Джекобсона кільця Z/8Z — 2Z/8Z.
• Якщо K — поле і R = K[[X₁, ..., X_n]] — кільце формальних степеневих рядів, тоді елементами J(R) є ті степеневі ряди вільним член яких рівний нулю.

Властивості

• Якщо I — ідеал в кільці R, то ${\displaystyle J(I)=I\cap J(R)}$, якщо ${\displaystyle R_{n}}$ — кільце всіх матриць порядку n над R, то ${\displaystyle J(R_{n})=(J(R))_{n}}$.

• Якщо на асоціативному кільці R ввести наступну операцію:

${\displaystyle a\circ b=a+b+ab}$

то в напівгрупі ${\displaystyle \left\langle R,\circ \right\rangle }$ радикал J(R) відносно операції ${\displaystyle \circ }$ буде підгрупою.

• Над квазірегулярним (тобто таким, що збігається зі своїм радикалом Джекобсона) асоціативним кільцем не існує ненульових скінченно породжених незвідних модулів; проте прості асоціативні квазірегулярні кільця існують.
• Для того, щоб в асоціативному кільці R радикал Джекобсона був рівний нулю, необхідно і достатньо, щоб R було підпрямою сумою примітивних кілець.

• Якщо R є комутативним і скінченнопородженим як Z-модуль, то J(R) збігається з нільрадикалом кільця R.

• Радикал Джекобсона кільця R/J(R) рівний нулю.

• Якщо f : R → S сюр'єктивний гомоморфізм кілець, то f(J(R)) ⊆ J(S).

• Якщо M — скінченнопороджений лівий R-модуль і J(R)M = M, то M = 0 (лема Накаями).

• J(R) містить кожен ідеал R всі елементи якого є нільпотентними . Якщо R є лівим чи правим кільцем Артіна, тоді J(R) є нільпотентним ідеалом. Проте загалом не всі елементи радикала Джекобсона мають бути нільпотентними.

Див. також

• Радикал цілого числа

Посилання

• Радикал Джекобсона на PlanetMath.(англ.)

Джерела

• Джекобсон Н., Строение колец, пер. с англ., М.: Мир,1961
• Херштейн И.Н., Некоммутативные кольца, М.: Мир, 1972
• I. Martin Isaacs (1993). Algebra, a graduate course (1st edition ed.). Brooks/Cole Publishing Company.