Поповнення (комутативна алгебра)

Поповнення кільця або модуля є методом у комутативній алгебрі, в якому кільце або модуль поповнюється щодо заданої метрики, яка є індукованою ідеалом. Термін геометрично пов'язаний з локалізацією кільця: обидва кільця досліджують околи точки в спектрі кільця, але поповнення ще більше відображає локальні властивості.

Означення

Поповнення кільця щодо ідеалу

Всюди у цій статті кільця вважаються комутативними з одиницею.

Нехай ${\displaystyle A}$ кільце і ${\displaystyle I}$ ідеал. Позначимо ${\displaystyle A^{\mathbb {N} }=\prod _{n\in \mathbb {N} }A}$

Послідовність ${\displaystyle (a_{i})_{(i\in \mathbb {N} )}=(a_{0},a_{1},\dots )}$ називається нульовою, якщо для всіх ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ існує число ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$, таке що ${\displaystyle \forall i>k:a_{i}\in I^{n}}$

Позначимо ${\displaystyle \mathrm {NF} }$ ідеал всіх нульових послідовностей.

Послідовність ${\displaystyle (a_{i})_{(i\in \mathbb {N} )}}$ називається фундаментальною або послідовністю Коші, коли для всіх ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ існує число ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$, таке що:

${\displaystyle \forall i,j>k:(a_{i}-a_{j})\in I^{n}}$

Позначимо ${\displaystyle \mathrm {CF} }$ кільце всіх фундаментальних послідовностей.

Фактор-кільце ${\displaystyle {\hat {A}}_{I}:=\mathrm {CF} /\mathrm {NF} }$ називається поповненням ${\displaystyle A}$ за ${\displaystyle I}$.

Якщо ${\displaystyle a\in A}$ то послідовність ${\displaystyle (a,a,a\dots )}$ є очевидно фундаментальною і тому існує гомоморфізм

${\displaystyle f\colon A\to {\hat {A}}}$

${\displaystyle f\colon a\mapsto (a,a,\dots ).}$

Даний гомоморфізм є ін'єктивним, якщо:

${\displaystyle \bigcap _{i=0}^{\infty }I^{i}=\{0\}}$

Зокрема ця рівність виконується для важливого випадку локальних нетерових кілець (для яких це твердження є наслідком леми Артіна — Ріса).

Кільце називається повним (по відношенню до ${\displaystyle I}$), якщо ${\displaystyle f}$ є ізоморфізмом.

Поповнення модулів

Фільтрацією модуля ${\displaystyle M}$ над кільцем ${\displaystyle A}$ називається послідовність ${\displaystyle (M_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ така, що:

${\displaystyle M=M_{0}\supset M_{1}\supset ...\supset M_{i}\supset }$

Найважливішим частковим випадком є послідовність ${\displaystyle M_{n}=I^{n}M}$ для деякого ідеала ${\displaystyle I}$. Ця фільтрація називається ${\displaystyle I}$-адичною.

Ввівши модуль послідовностей ${\displaystyle M^{\mathbb {N} }}$ і використовуючи ${\displaystyle M_{n}}$ замість ${\displaystyle I_{n}}$ можна аналогічно до попереднього ввести поняття фундаментальних і нульових послідовностей і поповнення модуля

${\displaystyle {\hat {M}}=CF/NF}$ щодо фільтрації чи, в окремому випадку ${\displaystyle M_{n}=I^{n}M}$ щодо ідеала ${\displaystyle I}$.

Модуль ${\displaystyle M}$ називається повним (щодо фільтрації), коли природне відображення:

${\displaystyle f\colon M\to {\hat {M}}}$ є ізоморфізмом.

Альтернативні означення

Як поповнення метричного простору

Поповнення кільця за ідеалом можна розглядати як окремий випадок поповнення метричних просторів, якщо відповідну метрику задати на кільці. Нехай ${\displaystyle A}$ кільце і ${\displaystyle I}$ ідеал. Тоді на ${\displaystyle A}$ можна задати псевдометрику:

${\displaystyle \mathrm {d} _{I}(x,y)=\mathrm {inf} \{2^{-i}|x-y\in I^{i}\}\ ({\text{ mit }}I^{0}:=A)}$

Якщо до того ж виконується:

${\displaystyle \bigcap _{i=0}^{\infty }I^{i}=\emptyset ,}$

то функція ${\displaystyle \mathrm {d} _{I}}$ є метрикою, тобто додатково

${\displaystyle \mathrm {d} _{I}(x,y)=0\Rightarrow x=y.}$

До метричного простору ${\displaystyle (A,\mathrm {d} _{I})}$ можна застосувати стандартну процедуру поповнення метричних просторів. Внаслідок цього отримаємо кільце, що є повним метричним простором і є ізоморфним поповнення кільця згідно попереднього означення.

За допомогою проективних границь

Оберненою системою кілець (або модулів)називається ряд кілець (або модулів) і гомоморфізмів між ними ${\displaystyle (A_{i},f_{i})_{(i\in \mathbb {N} )}}$ де гомоморфізми визначені як

${\displaystyle f_{n}\colon A_{n}\to A_{n-1}.}$

Проективною границею цієї системи називається кільце:

${\displaystyle \lim _{\longleftarrow }(A_{n},f_{n})_{n\in \mathbb {N} }:={\biggl \{}(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \prod _{n\in \mathbb {N} }A_{n}{\biggl |}x_{n}\in A_{n},f_{n}(x_{n})=x_{n-1}{\biggl \}}}$

Якщо тепер ${\displaystyle I\subset A}$ ідеал і позначивши

${\displaystyle A_{i}=A/I^{i}}$

${\displaystyle A_{0}=0}$

${\displaystyle f_{i+1}\colon A_{i+1}\to A_{i}}$ — природний гомоморфізм кільця ${\displaystyle A_{i+1}}$ у його фактор-кільце ${\displaystyle A_{i}=A_{i+1}/(I^{n+1}/I^{n})}$,

отримаємо кільце ізоморфне поповненню кільця:

${\displaystyle {\hat {A}}_{I}\cong \lim _{\longleftarrow }(A_{n},f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

Властивості

• Нехай ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$ — кільця і ${\displaystyle I\subset A}$ і ${\displaystyle J\subset B}$ — ідеали. Якщо ${\displaystyle f\colon A\to B}$ — гомоморфізм кілець для якого ${\displaystyle f(I)\subset J}$, то можна визначити гомоморфізм ${\displaystyle {\hat {f}}\colon {\hat {A}}\to {\hat {B}}}$
• Нехай ${\displaystyle A}$ — локальне кільце Нетер з максимальним ідеалом ${\displaystyle m}$ і ${\displaystyle {\hat {A}}}$ його поповнення. Тоді:

${\displaystyle \mathrm {dim} (A)=\mathrm {dim} ({\hat {A}})}$ (${\displaystyle \mathrm {dim} (A)}$ позначає розмірність Круля кільця)

${\displaystyle A}$ є регулярним, якщо і тільки якщо таким є ${\displaystyle {\hat {A}}}$.

• Теорема Коена про структуру: якщо ${\displaystyle A}$ регулярне локальне кільце, яке є повним щодо його максимального ідеала і містить в собі поле, то:

${\displaystyle A\cong k[[X_{1},\dots ,X_{n}]]}$ де ${\displaystyle k}$ є полем лишків кільця ${\displaystyle A}$.

• Поповнення кільця Нетер ${\displaystyle A}$ є плоским модулем над ${\displaystyle A}$.
• Якщо ${\displaystyle A}$ — кільце і ${\displaystyle M}$ — скінченнопороджений модуль над кільцем ${\displaystyle A}$ то відображення ${\displaystyle \varphi _{M}:M\otimes _{A}{\hat {A}}\to {\hat {M}}}$ є сюр'єктивним. Якщо додатково ${\displaystyle A}$ є нетеровим кільцем, то це відображення є ізоморфізмом. В даному випадку поповнення модуля здійснюється за фільтрацією ${\displaystyle M_{n}=I^{n}M}$. Зокрема для деякого ідеала ${\displaystyle I}$ у нетеровому кільці ${\displaystyle A}$ звідси випливає ${\displaystyle {\hat {I}}\simeq I\otimes _{A}{\hat {A}}\simeq {\hat {A}}I.}$
• Нехай ${\displaystyle M}$ є ${\displaystyle A}$-модулем і ${\displaystyle (M_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ — задана на ньому фільтрація. Якщо для довільного ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ розглядати модуль ${\displaystyle M_{n}}$ з індукованою фільтрацією, то ${\displaystyle {\hat {M}}_{n}}$ є підмодулем ${\displaystyle {\hat {M}}}$ і також ${\displaystyle {\hat {M}}/{\hat {M}}_{n}\simeq M/M_{n}.}$
• Для поповнення ідеала ${\displaystyle I}$ у нетеровому кільці ${\displaystyle A}$ (щодо ${\displaystyle I}$-адичної фільтрації) справедливими є твердження: ${\displaystyle ({\hat {I}})^{n}={\widehat {(I^{n})}},\quad I^{n}/I^{n+1}\simeq {\hat {I}}^{n}/{\hat {I}}^{n+1}.}$ Також ${\displaystyle {\hat {I}}}$ є підмножиною радикала Джекобсона кільця ${\displaystyle {\hat {A}}}$
• Нехай ${\displaystyle M}$ є ${\displaystyle A}$-модулем і ${\displaystyle (M_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ — задана на ньому фільтрація. Тоді ${\displaystyle ({\hat {M}}_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ (де ${\displaystyle {\hat {M}}_{i}}$ означені як і вище) є фільтрацією модуля ${\displaystyle {\hat {M}}}$ і для цієї фільтрації ${\displaystyle {\hat {\hat {M}}}={\hat {M}}.}$
• Нехай

${\displaystyle 0\to M'\;{\xrightarrow {f}}\;M\;{\xrightarrow {g}}\;M''\to 0}$

коротка точна послідовність ${\displaystyle A}$-модулів і ${\displaystyle (M_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ — фільтрація модуля ${\displaystyle M}$. Нехай ${\displaystyle (f^{-1}M_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ і ${\displaystyle (gM_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ — індуковані фільтрації на модулях ${\displaystyle M'}$ і ${\displaystyle M''.}$ Тоді поповнення модулів щодо цих фільтрацій утворюють точну послідовність

${\displaystyle 0\to {\hat {M}}'\;{\xrightarrow {\;}}{\hat {M}}\;{\xrightarrow {\;}}{\hat {M}}''\to 0.}$

Зокрема це справедливо, якщо на всіх модулях фільтрація є породжена деяким ідеалом кільця: ${\displaystyle M_{n}=I^{n}M}$

Приклади

Формальний степеневий ряд

Якщо ${\displaystyle A}$ є кільцем многочленів ${\displaystyle K[X_{1},\dots ,X_{n}]}$ над полем ${\displaystyle K}$ і ${\displaystyle I}$ ідеал породжений елементами ${\displaystyle (X_{1},\dots ,X_{n})}$

Поповнення кільця ${\displaystyle K[X_{1},\dots ,X_{n}]}$ за ідеалом ${\displaystyle I}$ є ізоморфним кільцю формальних степеневих рядів ${\displaystyle K[[X_{1},\dots ,X_{n}]].}$

Р-адичні числа

р-адичні числа ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ є поповненням поля ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ щодо ${\displaystyle p}$-адичної метрики ${\displaystyle d_{p}}$ (де ${\displaystyle p}$ — деяке просте число) яка задається так: для раціональних чисел ${\displaystyle q}$ і ${\displaystyle r}$ маємо

${\displaystyle q-r=\pm \ p^{i}\cdot {\dfrac {s}{t}}}$

де ${\displaystyle s,t\in \mathbb {N} }$ і ${\displaystyle i\in \mathbb {Z} }$ і ${\displaystyle p}$ не ділить жодне з чисел ${\displaystyle s,t}$ Тоді

${\displaystyle d_{p}(q-r)=p^{-i}}$

Послідовність цілих чисел є фундаментальною щодо ${\displaystyle p}$-адичної метрики, якщо вона є фундаментальною щодо ідеалу ${\displaystyle (p)}$. Таким чином, ми отримуємо вкладення:

${\displaystyle f\colon {\widehat {\mathbb {Z} }}_{p}\hookrightarrow \mathbb {Q} _{p}}$.

Тут, ліва сторона позначає поповнення ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ за ${\displaystyle (p)}$. Це вкладення задає ізоморфізм ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} _{p}}}\cong \mathbb {Z} _{p}}$ з кільцем ${\displaystyle p}$-адичних цілих чисел, яке і є поповненням цілих чисел щодо ідеалу ${\displaystyle (p)}$.

Геометричний Приклад

Графік кривої ${\displaystyle y^{2}=x^{2}(x+1)}$ в дійсній афінній площині

Нехай ${\displaystyle X}$ плоска алгебрична крива в двовимірному афінному просторі, що задається рівнянням

${\displaystyle y^{2}=x^{2}(x+1)}$

У нульовій точці, крива перетинає сама себе і в околі нуля є схожою з кривою ${\displaystyle 0=xy}$. Ця локальна схожість виявляється ізоморфізмом ${\displaystyle {\hat {A}}\cong {\hat {B}}}$ де

${\displaystyle A:=K[[x,y]]/(y^{2}-x^{2}-x^{3})_{({\bar {x}},{\bar {y}})}}$

і

${\displaystyle B:=K[[x,y]]/(xy)_{({\bar {x}},{\bar {y}})}}$

Самі локальні кільця двох кривих в точці не є ізоморфними на відміну від їх поповнень.

Кільце з лівої сторони «рівняння ізоморфізму» є прикладом того, що поповнення області цілісності, може саме не бути областю цілісності.

Інтерпретація в алгебричній геометрії

У алгебричній геометрії особливе значення мають поповнення локальних кілець в точках алгебричних многовидів. Вони є важливими для вивчення локальної поведінки многовидів і дають часто значно більше інформації, ніж самі локальні кільця. Зокрема якщо дві точки ${\displaystyle P\in X}$ і ${\displaystyle Q\in Y}$ на незвідних алгебричних многовидах мають ізоморфні локальні кільця, то многовиди ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle Y}$ є біраціональними. Локальне кільце несе майже всю інформацію про многовид, тоді як поповнення локального кільця має властивості, які інтуїтивно більш характерні саме для локальної інформації.

З теореми Коена випливає, що регулярні точки на алгебричних многовидах мають ізоморфні поповнення відповідних локальних кілець, тоді і тільки тоді коли відповідні многовиди мають однакову розмірність.

Див. також

• Локалізація кільця

Література

• Bruske, Ischebeck, Vogel: Kommutative Algebra, Bibliographisches Institut (1989),
• Ernst Kunz, «Introduction to Commutative algebra and algebraic geometry», Birkhauser 1985,
• Atiyah, Macdonald: Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley (1969),
• Robin Hartshorne: Algebraic Geometry, Springer-Verlag, New York/Berlin/Heidelberg 1977,