Ознака збіжності Коші

Ознака збіжності Коші — ознака збіжності числових рядів:

Ряд ${\displaystyle \sum a_{k}}$ збігається тоді і тільки тоді, коли

${\displaystyle \forall \,\epsilon >0,\exists \,\nu _{\epsilon },\forall n,\forall p,}$

${\displaystyle n\geqslant \,\nu _{\epsilon }\rightarrow \left|\sum _{k=1}^{p}{a_{n+k}}\right|\leqslant \epsilon .(1)}$

Доведення

Послідовність ${\displaystyle (s_{n})}$ часткових сум ряду ${\displaystyle \sum a_{k}}$ збігається тоді і тільки тоді коли вона є фундаментальною, тобто

${\displaystyle \forall \,\epsilon >0,\exists \,\nu _{\epsilon },\forall n,\forall p,}$

${\displaystyle n\geqslant \,\nu _{\epsilon }\Rightarrow \left|s_{n+p}-s_{n}\right|\leqslant \epsilon ,}$

що є рівним умові ${\displaystyle (1),}$ так як ${\displaystyle s_{n+p}-s_{n}=a_{n+1}+...+a_{n+p}.}$

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2300+ с.(укр.)