Нільпотентний елемент

Нільпотентний елемент або нільпотент — елемент ${\displaystyle a}$ кільця, що задовольняє рівності ${\displaystyle a^{n}=0}$ для деякого натурального ${\displaystyle n}$. Мінімальне значення ${\displaystyle n}$, для якого справедлива ця рівність, називається індексом нільпотентності елементу ${\displaystyle a}$.

Приклади

• У кільці лишків за модулем ${\displaystyle p^{n}}$, де ${\displaystyle p}$ — деяке просте число, клас лишків числа ${\displaystyle p}$ — нільпотент індексу ${\displaystyle n}$,
• Матриця

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$

є нільпотентом індексу ${\displaystyle 2}$ у кільці ${\displaystyle 2\times 2}$-матриць.

Властивості

• Якщо ${\displaystyle a}$ — нільпотентний елемент індексу n, то справедлива рівність:

${\displaystyle 1=(1-a)(1+a+a^{2}+\cdots +a^{n-1})}$,

тобто елемент ${\displaystyle (1-a)}$ оборотний і обернений до нього елемент записується у вигляді многочлена від ${\displaystyle a}$.

• Сума двох нільпотентних елементів, що комутують між собою є нільпотентом.

Нехай ${\displaystyle P}$ деяке кільце, a ${\displaystyle x,y\in P}$ два комутуючі між собою нільпотентні елементи. Нехай ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$ такі, що ${\displaystyle x^{m}=0}$ і ${\displaystyle y^{n}=0}$. З комутативності ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$ можна використати формулу бінома Ньютона для ${\displaystyle (x+y)^{m+n}}$:

${\displaystyle (x+y)^{m+n}=\sum _{k=0}^{m+n}{\binom {m+n}{k}}x^{k}y^{m+n-k}.}$

При ${\displaystyle 0\leqslant k<m}$ маємо ${\displaystyle m+n-k>n}$, тоді ${\displaystyle y^{m+n-k}=0}$ і доданки, що відповідають тим індексам ${\displaystyle k}$ рівні нулю. Однак при ${\displaystyle k\geqslant m}$, одержується ${\displaystyle x^{k}=0}$. Тобто всі доданки є нульовими і ${\displaystyle x+y}$ є нільпотентним елементом.

• Всі нільпотентні елементи комутативного кільця утворюють ідеал ${\displaystyle J}$, що називається нільрадикалом кільця збіжний з перетином всіх простих ідеалів. Кільце ${\displaystyle A/J\,}$ вже не має нільпотентних елементів, відмінних від нуля.

В попередньому пункті доводиться, що нільрадикал є замкнутим щодо операції додавання. Якщо ${\displaystyle r\in R}$ — деякий елемент кільця і ${\displaystyle a\in J}$ — елемент нільрадикалу такий, що ${\displaystyle a^{n}=0\,}$, тоді ${\displaystyle (ar)^{n}=a^{n}r^{n}=0\,}$ тобто ${\displaystyle ar\in J}$, що доводить твердження. Доведення того, що нільрадикал рівний перетину всіх протих ідеалів дано в статті «Простий ідеал».

• При інтерпретації комутативного кільця як кільця функцій на просторі його спектрі нільпотентам відповідають функції, тотожно рівні нулю.

Див. також

• Нільпотентний ідеал
• Нільпотентна матриця
• Нільрадикал
• Уніпотентний елемент

Література

• Milies, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K.. An introduction to group rings. Algebras and applications, Volume 1. Springer, 2002.