Дізнатися більше про цю сторінкуСтаття Нескінченність входить до спільного для всіх мовних розділів Вікіпедії списку нео

Стаття «Нескінченність» входить до .
Її покращення й доведення до є важливим напрямком роботи проєкту.

Ця стаття є частиною (рівень: 3, важливість: найвища)
	Мета проєкту — створення якісних та інформативних статей на теми, пов'язані з Математикою. Ви можете покращити цю статтю, відредагувавши її, а на вказано, чим ще можна допомогти. Учасники проєкту будуть вам вдячні.
(у розвитку)	Ця стаття за має рівень «стаття у розвитку».
Найвища	Важливість цієї статті для проєкту : «найвища»
	Чим допомогти:

Рік	2010	2011	2012
Переглядів	1448	2602	4418

Нескінченність у математиці

ПЕРЕДМОВА

Давід Гілберт, один з найвидатніших математиків всіх часів, сказав, що математика – це єдина симфонія нескінченного. Справді, математика надзвичайно тісно переплелась з нескінченністю. І хоч в наш час бурхливо розвиваються і знаходять широке застосування теорії, об'єднувані під загальною назвою «скінченна математика», в математиці панує нескінченність. З усією повнотою розкрити її роль в математиці абсолютно неможливо.

ПЕРШІ КОНТАКТИ
1. ДОВГИЙ ШЛЯХ ДО ЗУСТРІЧІ
І наймогутніші річки починаються з ледве помітних струмків. Так, десь у первісному суспільстві, понад 50 тисяч років тому, несміливі сплески людської думки привели до формування спочатку уявлення, а потім і поняття натурального числа. Тривалий час натуральний ряд чисел був дуже коротким. Справді, що доводилося лічити первісній людині? Дітей, дні, дороги до сусіднього племені, забитих на полюванні звірів, зрубані дерева. Починали лічбу з одиниці, за якою скоро зайняло своє місце число 2. Кількісні оцінки чисельніших множин подавались словами «багато» або «багато-багато»: пальців на руці, зрубаних дерев —«багато», риби в річці, зірок на небі — «багато-багато». Та механізм теоретичних узагальнень вже спрацював — і не було сили, яка могла б його зупинити. Поступово людина відкривала для себе все нові й нові числа натурального ряду: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,... В мовах, легендах, казках і прислів’ях різних народів зберігалося багато свідчень про те, яким довгим і складним був шлях до цих відкриттів. Іноді людина навіть лякалася, знайомлячись з новими представниками чисел, намагалась уникнути їх. Проте в голосному вона була послідовною – далі й далі подовжувала натуральний ряд чисел. Людині доводилося не тільки лічити, а й ділити на частини ціле, вимірювати різні величини — відстань, площіну, об'єм, масу тощо. Навіть за допомогою найпростіших засобів вимірювання результат не завжди вдавалося виразити натуральним числом. Потреба враховувати і частини одиниці виміру дала поштовх до відкриття дробів — спочатку виду , а потім і . Так людина опинилася на розгалуженні двох доріг: одна вела до чимдалі більших натуральних чисел: 1, 2, 3, 4, 5, ..., п, п + 1, ...; друга — в потаємні глибини малого: 1, ,… , .Людина ще не знала, як далеко можна зайти по кожній з них. Той поклик був владний і всесильний, бо кожен крок відкривав щось нове, а крізь нагромадження випадковостей і несподіванок проглядали обриси кількісних характеристик, які чітко були з'ясовані лише наприкінці XIX століття. До чисел людина зверталася, щоб компенсувати своє безсилля в боротьбі з грізними силами природи, підкреслити масштаби різних легендарних подій та кількість їх учасників. Особливо багато таких числових гіпербол в індуській міфології. Так, у «Рамаяні» розповідається, що в одній битві на боці короля Сугрива брали участь десять тисяч секстильйонів (1025) мавп. Такої кількості цих тварин не змогли б вмістити і всі планети Сонячної системи, не те що Земля. В оповідях про життя Будди згадуються періоди в сотні мільйонів «.kalpa» — проміжок часу, який сам дорівнює 4 320 000 000 років. 2. РАДІСТЬ ПІЗНАННЯ Спостерігаючи періодичність зміни дня і ночі та пір року, закономірності руху небесних тіл, астрономи стародавнього Вавілону і Єгипту помітили характерну особливість цих та безлічі інших найрізноманітніших явищ навколишнього світу: всі вони характеризуються певними числами. Можливо, вже тоді й виникла думка, що різні явища можна вивчати опосередковано — досліджуючи числа, які їх характеризують. Сьогодні неможливо встановити, як широко був поставлений експеримент, на основі якого Піфагор дійшов висновку, що «все є число», «все впорядковується у відповідності з числами».

3. ДИВЕРСІЯ ЗЕНОНА ЕЛЕЙСЬКОГО Вчені тільки починали зміцнювати логічний фундаменті математики після вторгнення несумірностей, коли старон грецький філософ Зенон Елейський (середина 5 ст. н. є.) висловив думку, глибина і значення якої стали зрозумілими лише в наш час. Зенон перший чітко висловив ідею просторової і математичної нескінченності. Він же висунув 45 аргументів, або апорій (від грецького.— тупик, утруднення), в яких в наївній і далекій від математики формі з геніальною проникливістю поставив складні, глибокі питання, що розкривали діалектичну суперечність понять скінченного нескінченного. Поняття нескінченності в математиці може характеризувати процеси, які відбуваються в природі або здійснюються самою людиною. Розглядаючи такі процеси, припускаємо, що після кожного виконаного кроку — геометричної побудови чи арифметичної операції— завжди вдасться здійснити наступний. Наприклад: 1,1 + 1 = 2, 2 + 1 =3, ..., (п— 1) + 1 = п,... . Якщо знехтувати неминучими фізичними обмеженнями, що накладаються на перебіг такого процесу і вважати його продовженим як завгодно далеко, то в результаті дістанемо множину N тих чи інших кроків. Так приходимо до абстракції потенціальної (від лат. potentia— можливість) нескінченності. В нашому прикладі N ніби постає, розгортається перед нами в процесі, який ми уявили нескінченно продовженим. Можна піти ще далі і, абстрагуючись від самого процесу утворення множини, розглядати готовий результат побудови. Тоді множина виступає завершеною, заданою всім набором своїх елементів, актуально (від лат. aclualis — діяльний/ існуючою. У випадку скінченних множин таке припущення не викликає жодних утруднень і практика щоразу підтверджує його правильність. Розглядаючи нескінченні множини як актуально задані, ми тим самим вводимо ще одну абстракцію — поняття актуальної нескінченності, яке викликало справжні логічні катастрофи. Серед них вчинена Зеноном Елейським була найбільш руйнівною. Він показав, що, розглядаючи простір і час як необмежено подільні чи як суми найдрібніших неподільних далі структурних одиниць матеріального світу — атомів, ми в обох випадках приходимо до суперечності. 1. ЯК ЕВКЛІД ПІДРАХУВАВ, А ЕРАТОСФЕН ВИСІЯВ ПРОСТІ ЧИСЛА Вивчаючи властивості окремих чисел і певних їх сукупностей, вчені виявили стільки несподіванок і загадок, що залишили своїм нащадкам більше нерозкритого, ніж їм самим вдалося розгадати. Шукаючи першооснову речей, вчені звернули увагу, що числа можна подавати у формі добутку інших, вже неподільних чисел. Ці останні мають лише два дільники, тобто діляться тільки самі на себе і на одиницю. Такими є, наприклад, 2,3,5,7, 11, 13, 17, 19,... їх назвали простими, бо вони ніби числові цеглини, з яких можна утворити будь-яке велике число. Числа, які мають більш ніж два дільники, називаються складеними. Наприклад, складеними є числа 4, 6, 8,9,10, 12,... Якщо прості числа — цеглини для побудови інших чисел, то виникає питання: скільки їх? Заспокійливу відповідь дав старогрецький математик Евклід (III ст. до н. є.). Нескінченність вже була в опалі, тому свою теорему про нескінченність множини простих чисел він сформулював в такій формі: «Первісних (тобто простих) чисел існує більше від будь-якого названого числа їх». Довів він її методом від супротивного, теж віртуозно обминувши поняття нескінченності. Його доведення — справжнє чудо математичної творчості, де нескінченне потрапило в пастку скінченного. Припустимо, що множина простих чисел скінченна. Тоді існує найбільше просте число р. А коли так, то можна перемножити всі прості числа від найменшого (числа 2) до р: 2 • 3 • 5 ... р. Збільшимо добуток простих чисел на 1 і знайдену суму позначимо через М : (2 • 3 • 5 ... ... р) +1 = М. Оскільки число М > 1, то воно або просте, або складене. Якщо М просте, то виникає суперечність із зробленим припущенням. Якщо М складене, то воно обов'язково має принаймні один простий дільник. Але ним не може бути жодне з простих чисел 2, 3, 5,..., р. Бо при діленні М на кожне з цих чисел дістаємо в остачі одиницю. Тобто воно має простий дільник q > p. Припущення, що існує найбільше просте число, знову привело нас до суперечності. Отже, воно було неправильним. Найбільшого простого числа не існує. Множина їх нескінченна. З часом решето Ератосфен а удосконалили, знайшли багато інших «решіт», за допомогою яких з довільного числового проміжку можна «висіяти» прості числа.

МАТЕМАТИКА РУХІВ 1. ВСЕ ТЕЧЕ, ВСЕ МІНЯЄТЬСЯ Як не налякав Зенон декого з математиків і філософів, життя брало своє. Треба було обчислювати площі і об'єми дедалі складніших геометричних фігур, враховувати положення різних рухомих об'єктів в заданий момент часу, розв'язувати інші складні задачі самої математики, а також фізики, механіки, астрономії—задачі, які були вже не під силу математиці сталих величин. В математику входили змінні. Одні коливалися навколо якихось невідомих чисел, не наважуючись наблизитися до жодного з них, інші прямували до конкретних чисел, а треті, зростаючи, йшли в нескінченність. Математики нарешті навчилися виражати найголовніші риси вічного і безперервного руху, що робить світ таким різноманітним, завжди молодим і прекрасним. Тривалий процес формування ідей інтегрального та диференціального числення розпочався ще в Стародавньому світі. Потім, майже через 1800 років його продовжили піонери нескінченності Кеплер, Кавальєрі, Ферма, Декарт, Торічеллі, Паскаль, Валліс, учитель Ньютона — Барроу, Завершили його, Ньютон (1643-1727) і Г. Лейбніц (1646—1716). Офіційною датою народження нового числення можна вважати 1684 рік, коли Лейбніц опублікував статтю, в якій дав стислий, хоча й малодоступний, виклад головних його принципів. Нове числення давало вражаючі результати. Воно дозволило легко доводити нові складні теореми, розв'язувати важливі задачі геометрії, механіки, астрономії, оптики. 2. ТРІУМФ НЕСКІНЧЕННОСТІ Спочатку Кантору судилося пережити драму новатора, який не дістав визнання. Багато відомих математиків зайняли щодо теорії множин різко негативну позицію. Протест, з позиції «здорового глузду», викликали не тільки результати нової теорії, а й ті засоби, якими вони були здобуті. В доведеннях Кантора не було математики, до якої всі звикли з часів Евкліда і Архімеда. Вони являли собою відмову від усталених форм математичного мислення, заміняли їх новими, в яких, замість обчислень, головним засобом доведень стали міркування. А потребу в фундаменті для своєї науки математики наприкінці XIX ст. відчували гостріше, ніж будь-коли. По-перше, споруда математики досягла велетенських розмірів. По-друге, в ній з'являлося все більше фактів, які не можна було пояснити з якоїсь однієї точки зору, засобами однієї теорії. В 1806 році Ампер зробив спробу теоретично обгрунтувати, що неперервні функції можуть мати лише ізольовані особливості. В геометричній інтерпретації це означає, щодо графіка неперервної функції, лише за винятком окремих точок, скрізь можна провести дотичну. В 1861 році Вейєр-штрасс вразив математиків фактом абсолютно «неможливим», Він дав приклад функції, неперервної на єідрізку, яка нe мала дотичної в жодній своїй точці. ЗАГАДКА П'ЯТОГО ПОСТУЛАТУ 1. ЕВКЛІД ПРИЙМАЄ РІШЕННЯ Живучи в просторі і часі, людина дуже скоро усвідомила, що довколишні предмети характеризуються, крім всього іншого, своїми формами. Вона відкрила і широко використовувала найпростіші закономірності цих форі і їх відношень. Та тільки в ІІІ ст. до н. є. Евклід у своїй славетній книзі «Начала» створив одну з перших і таку досконалу математичну модель основних просторових форм і їх кількісних відношень, що понад два тисячоліття багато поколінь людей у всьому світі вивчали геометрію по цій дивовижній книзі. Грандіозна споруда евклідової геометрії вражала світ завершенністю і досконалістю. Евклід дав неперевершений протягом тисячоліть взірець аксіоматичної побудови математичної теорії. Математичні доведення є логічною дедукцією одних суджень з інших. Евклід прагнув описати в своїй аксіоматиці властивості первинних геометричних понять, а в постулатах дав правила виконання геометричних побудов за допомогою ідеальних циркуля і лінійки. Це був логічний фундамент монументальної математичної споруди Евклідової геометрії.

2. ДОРОГА ШУКАНЬ І ПОРАЗОК V постулат Евкліда про паралельні, як сильний магніт, притягував до себе видатних математиків, мислителів, багатьох шукачів легкої слави і авантюристів. Всі вони хотіли доступними їм засобами розгадати таємницю теорії паралельних ліній їхні пошуки —це неспокій людської думки, трагедії безталанних шукачів істини, зневіра навіть великих вчених і дуже рідко сурми перемоги, які часто лунали надто пізно щоб їх могли почути переможці. Александрійський астроном Клавдій Птолемей (бл.100178), творець знаменитої геоцентричної (Птолемейової) системи світу був також автором першої відомої нам в історії спроби довести V постулат. Він прийняв як очевидне твердження: «коли дві прямі, які не перетинаються, перетнути третьою прямою, то суми внутрішніх односторонніх кутів по обидва боки від січної рівні». Це твердження еквівалентне тому, яке він доводив. Останній видатний філософ стародавнього світу Прокл Діадох (410-485)доводив V постулат, взявши за аксіому твердження: «відстань між двома прямими, які лежать в одній площині і не перетинаються, залишається обмеженою». Азербайджанський астроном, філософ і математик Мухаммед Насіреддін Тусі (1201—1274) прийняв при доведенні аксіому: «якщо дві прямі лежать в одній площині і сходяться в певному напрямі, то вони не можуть розходитися при продовженні в тому ж напрямі, якщо тільки не перетинаються». Знаменитий англійський математик Джон Валліс (1616—1703) скористався такою аксіомою: «існують подібні, але не конгруентні фігури. Перелік цей далеко не повний. Був і другий шлях штурму таємниці аксіоми про паралельні прямі — це метод зведення до протиріччя. Брали твердження, протилежне V постулату або одному з його еквівалентів і, виходячи з такої гіпотези, прагнули одержати протиріччя.

3. ЧЕРЕЗ 2000 РОКІВ ПІСЛЯ ЕВКЛІДА Багатьох драматичних сторінок історії V постулату не знав професор Казанського університету Микола Іванович Лобачевський (1792—1856), коли 23 лютого 1826 року піднімався на кафедру, щоб виголосити доповідь на тему «Стислий виклад початків геометрії із строгим доведенням теореми про паралельні». Він теж починав із спроб довести непокірний постулат, та скоро зрозумів, що зробити це ні йому, ні комусь іншому не вдасться, оскільки це припущення, твердження, логічно не залежне від інших аксіом і постулатів евклідової геометрії. А коли так, то може існувати й інша геометрія, в якій це твердження не справджується. В своїй доповіді вчений і розповів про зроблене відкриття, виклав початки нової геометрії, названої ним уявлюваною. В аксіоматиці Евкліда Лобачевський змінив лише одне твердження — V постулат, прийнявши замість нього аксіому паралельності, яку можна сформулювати так: «Існує пряма а і точка А поза цією прямою — такі, що у визначеній ними площині можна провести через А принаймні дві прямі, які не перетинають прямої а». Треба було мати неабияку мужність і далекоглядність вченого, щоб прийняти все, що продиктує логіка. Тільки логіка умовиводів, а не креслення і наші геометричні уявлення. Саме вони були чи не найбільш замаскованими пастками, які попадали його попередники. Такий висновок — не довільне припущення чи плід поетичної фантазії, а результат діалектико-матеріалістичного розв’язання складних проблем математичного природознавства.. Тільки за допомогою абстрактного поняття нескінченності ми можемо розв'язати безліч задач нашої суто скінченної практики, збагнути масштабність і складність світу, в якому ми живемо і сміливо йти до горизонтів опанованих нами реальностей. І все-таки, горизонти реальності завжди будуть нескінченно малим острівцем між двома берегами океану нескінченності: нескінченно великим і нескінченно малим. Але ніщо не спинить людину в дорозі, якою вона йде до істини.