Azərbaycanca
Беларускі
Dansk
Deutsch
Española
Français
Indonesia
Italiana
日本語
Қазақ
Lietuvos
Nederlands
Português
Русский
සිංහල
แบบไทย
Türkçe
Українська
中國人
United State
Afrikaans
Модулярна ґратка — ґратка, яка задовольняє наступний самодвоїстий закон:
- із слідує ,
де ≤ є відношення нестрогого порядку, ∨ та ∧ (бінарні операції об'єднання та перетину). Модулярні ґратки природно виникають в алгебрі та в багатьох інших галузях математики. Наприклад, підмножини векторного простору (модуль над кільцем) утворюють модулярні ґратки.
Кожна дистрибутивна ґратка є модулярною.
Не обов'язково в модулярній ґратці може бути елемент b, модульний закон виконується для довільного елемента a та x (≤ b). Такий елемент називається модулярним елементом. Загалом, модульний закон може існувати для фіксованої пари (a, b). Така пара називається модулярною парою.
Вступ
Модулярний закон можна спостерігати як обмежений асоціативний закон, який з'єднує дві операції:
- λ(μx) = (λμ)x.
Модулярний закон:
- x ≤ b слідує x ∨ (a ∧ b) ≥ (x ∨ a) ∧ b.
Підставляючи замість x вираз x ∧ b, модульний закон може бути виражений у вигляді рівняння наступним чином:
- (x ∧ b) ∨ (a ∧ b) = [(x ∧ b) ∨ a] ∧ b.
Це показує, що, використовуючи термінологію з універсальної алгебри, модулярні ґратки утворюють різноманіття решіток. Найменша немодулярна ґратка — це «Пентагон»(N5), що складається з п'яти елементів 0,1,x,a,b, таких що
- 0 < x < b < 1, 0 < a < 1.
Для цієї ґратки справедливо:
- x ∨ (a ∧ b) = x ∨ 0 = x < b = 1 ∧ b = (x ∨ a) ∧ b, що суперечить модульному закону.
Кожна немодулярна ґратка містить копію N5.
Модулярні ґратки іноді називають дедекіндовими структурами на честь Ріхарда Дедекінда, який відкрив модулярні ідентичності.
Алмазний ізоморфізм
Для будь-яких двох елементів a,b модулярної ґратки, можна розглядати інтервали [a ∧ b, b] та [a, a ∨ b]. Вони пов'язані та зберігають порядок:
- φ: [a ∧ b, b] → [a, a ∨ b] та
- ψ: [a, a ∨ b] → [a ∧ b, b]
які визначаються φ(x) = x ∨ a та ψ(x) = x ∧ b.
-
![image]()
В модулярній ґратці, відображення φ і ψ, що вказані стрілками є взаємно зворотним ізоморфізмом. -
![image]()
Суперечність теоремі ізоморфізму алмазів в немодулярній ґратці.
Композиція ψφ зберігає порядок відображення на інтервалі [a ∧ b, b] та задовольняє нерівності ψ(φ(x)) = (x ∨ a) ∧ b ≥ x. Аналогічно φψ тотожно [a, a ∨ b]. Отже спостерігаємо ізоморфізм двох відображень φ та ψ.
Цей результат іноді називають теоремою алмазів ізоморфізму для модулярних ґраток. Ґратка є модулярною тоді і тільки тоді, коли теорема алмазів ізоморфізму існує для будь-якої пари елементів.
Теорема алмазів ізоморфізму для модулярних ґраток аналогічна третій теоремі про ізоморфізми в алгебрі.
Модулярні пари
У будь-якій ґратці, модулярна пара являє собою пару ( a, b ) елементів, таких що для всіх х виконується a ∧ b ≤ x ≤ b, то (x ∨ a) ∧ b = x. Елемент b ґратки називається правим модулярним елементом, якщо (a, b ) являє собою модулярну пару для всіх елементів a.
Ґратка має властивість таку що, якщо (a, b) являє собою модулярну пару, то ( b, a ) також є модулярною парою, та називається M-симетричною ґраткою. У ґратках N5 , описаних вище, пара ( b, a ) є модульною, але пари (a, b) немає. Тому N5 не є M-симетричною. Центрова ґратка шестикутника S7 М-симетрична, але не модулярна. З того, що N5 є підґраткою S7 випливає, що M-симетричні ґратки не утворюють різноманіття ґраток.
M-симетрія не є поняттям самодвоїстості. Двоїсті модулярні пари являють собою пару, яка має подвійне відношення порядку, а ґратка називається двоїстою M-симетричною або M*-симетричною (подвійна M-симетричність ). Отже ґратка може бути модулярною тоді й тільки тоді, коли вона M-симетрична і M*-симетрична. Це еквівалентно і для нескінченних ґраток, які задовольняють умову максимальності (або низхідний ланцюжковий стан).
Ґратки навхрест симетричні тоді, коли для кожної модулярної пари ( a, b ) пара ( b, a ) є двічі модулярною. Симетрія навхрест означає, що виконується M-симетрія, але не виконується M*-симетрія. Тому вона не еквівалентна подвійній симетрії навхрест. Ґратка з найменшим елементом 0 є ⊥-симетричною, якщо для кожної модулярної пари ( a, b ), що задовольняє a ∧ b = 0, пара (b, a) також є модулярною.
Історія
Термін «модулярність» пов'язаний з ім’ям німецького математика Ріхарда Дедекінда. Він опублікував велику частину документів після його виходу на пенсію. У статті, опублікованій в 1894 році, він вивчав ґратки, які назвав подвійними групами (нім. Dualgruppen). Він також зазначив, що для ґраток загалом модулярний закон є еквівалентним двоїстому.
Дедекінд також зазначив, що будь-яка ґратка комутативного кільця задовольняє наступній формі модулярної ідентичності, яка також є самодвоїстою:
- (x ∧ b) ∨ (a ∧ b) = [x ∨ a] ∧ b.
Він називав ґратки, які задовольняють цій тотожності, подвійною групою ідеального типу (нім. Dualgruppen vom Idealtypus). У сучасній літературі їх частіше називають дистрибутивними ґратками.
Див. також
 | Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Посилання
- Corry, Leo, Modern algebra and the rise of mathematical structures (вид. 2nd), с. 121—129, ISBN
- (1897), Ueber Zerlegungen von Zahlen durch ihre grössten gemeinsamen Teiler, Braunschweiger Festschrift: 1—40
- Dedekind, Richard (1900), Ueber die von drei Moduln erzeugte Dualgruppe, Mathematische Annalen, 53 (3): 371—403, doi:10.1007/BF01448979
- Fofanova, T. S. (2001), Semi-modular lattice, у Hazewinkel, Michiel (ред.), Математична енциклопедія, , ISBN
- Maeda, Shûichirô (1965), On the symmetry of the modular relation in atomic lattices, Journal of Science of the Hiroshima University, 29: 165—170
- (1997), The many lives of lattice theory (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 44 (11): 1440—1445, ISSN 0002-9920
- Skornyakov, L. A. (2001), Modular lattice, у Hazewinkel, Michiel (ред.), Математична енциклопедія, , ISBN
- Stern, Manfred (1999), Semimodular lattices, Cambridge University Press, ISBN
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Modulyarna gratka gratka yaka zadovolnyaye nastupnij samodvoyistij zakon diagrama Gasse N5 najmenshoyi ne modulyarnoyi gratki iz x b displaystyle x leq b sliduye x a b x a b displaystyle x lor a land b x lor a land b de ye vidnoshennya nestrogogo poryadku ta binarni operaciyi ob yednannya ta peretinu Modulyarni gratki prirodno vinikayut v algebri ta v bagatoh inshih galuzyah matematiki Napriklad pidmnozhini vektornogo prostoru modul nad kilcem utvoryuyut modulyarni gratki Kozhna distributivna gratka ye modulyarnoyu Ne obov yazkovo v modulyarnij gratci mozhe buti element b modulnij zakon vikonuyetsya dlya dovilnogo elementa a ta x b Takij element nazivayetsya modulyarnim elementom Zagalom modulnij zakon mozhe isnuvati dlya fiksovanoyi pari a b Taka para nazivayetsya modulyarnoyu paroyu VstupModulyarnij zakon mozhna sposterigati yak obmezhenij asociativnij zakon yakij z yednuye dvi operaciyi l mx lm x Pentagon N5 Modulyarnij zakon x b sliduye x a b x a b Pidstavlyayuchi zamist x viraz x b modulnij zakon mozhe buti virazhenij u viglyadi rivnyannya nastupnim chinom x b a b x b a b Ce pokazuye sho vikoristovuyuchi terminologiyu z universalnoyi algebri modulyarni gratki utvoryuyut riznomanittya reshitok Najmensha nemodulyarna gratka ce Pentagon N5 sho skladayetsya z p yati elementiv 0 1 x a b takih sho 0 lt x lt b lt 1 0 lt a lt 1 Dlya ciyeyi gratki spravedlivo x a b x 0 x lt b 1 b x a b sho superechit modulnomu zakonu Kozhna nemodulyarna gratka mistit kopiyu N5 Modulyarni gratki inodi nazivayut dedekindovimi strukturami na chest Riharda Dedekinda yakij vidkriv modulyarni identichnosti Almaznij izomorfizmDlya bud yakih dvoh elementiv a b modulyarnoyi gratki mozhna rozglyadati intervali a b b ta a a b Voni pov yazani ta zberigayut poryadok f a b b a a b ta ps a a b a b b dd yaki viznachayutsya f x x a ta ps x x b V modulyarnij gratci vidobrazhennya f i ps sho vkazani strilkami ye vzayemno zvorotnim izomorfizmom Superechnist teoremi izomorfizmu almaziv v nemodulyarnij gratci Kompoziciya psf zberigaye poryadok vidobrazhennya na intervali a b b ta zadovolnyaye nerivnosti ps f x x a b x Analogichno fps totozhno a a b Otzhe sposterigayemo izomorfizm dvoh vidobrazhen f ta ps Cej rezultat inodi nazivayut teoremoyu almaziv izomorfizmu dlya modulyarnih gratok Gratka ye modulyarnoyu todi i tilki todi koli teorema almaziv izomorfizmu isnuye dlya bud yakoyi pari elementiv Teorema almaziv izomorfizmu dlya modulyarnih gratok analogichna tretij teoremi pro izomorfizmi v algebri Modulyarni pariReshitka shestikutnika S7 takozh vidoma yak D2 U bud yakij gratci modulyarna para yavlyaye soboyu paru a b elementiv takih sho dlya vsih h vikonuyetsya a b x b to x a b x Element b gratki nazivayetsya pravim modulyarnim elementom yaksho a b yavlyaye soboyu modulyarnu paru dlya vsih elementiv a Gratka maye vlastivist taku sho yaksho a b yavlyaye soboyu modulyarnu paru to b a takozh ye modulyarnoyu paroyu ta nazivayetsya M simetrichnoyu gratkoyu U gratkah N5 opisanih vishe para b a ye modulnoyu ale pari a b nemaye Tomu N5 ne ye M simetrichnoyu Centrova gratka shestikutnika S7 M simetrichna ale ne modulyarna Z togo sho N5 ye pidgratkoyu S7 viplivaye sho M simetrichni gratki ne utvoryuyut riznomanittya gratok M simetriya ne ye ponyattyam samodvoyistosti Dvoyisti modulyarni pari yavlyayut soboyu paru yaka maye podvijne vidnoshennya poryadku a gratka nazivayetsya dvoyistoyu M simetrichnoyu abo M simetrichnoyu podvijna M simetrichnist Otzhe gratka mozhe buti modulyarnoyu todi j tilki todi koli vona M simetrichna i M simetrichna Ce ekvivalentno i dlya neskinchennih gratok yaki zadovolnyayut umovu maksimalnosti abo nizhidnij lancyuzhkovij stan Gratki navhrest simetrichni todi koli dlya kozhnoyi modulyarnoyi pari a b para b a ye dvichi modulyarnoyu Simetriya navhrest oznachaye sho vikonuyetsya M simetriya ale ne vikonuyetsya M simetriya Tomu vona ne ekvivalentna podvijnij simetriyi navhrest Gratka z najmenshim elementom 0 ye simetrichnoyu yaksho dlya kozhnoyi modulyarnoyi pari a b sho zadovolnyaye a b 0 para b a takozh ye modulyarnoyu IstoriyaTermin modulyarnist pov yazanij z im yam nimeckogo matematika Riharda Dedekinda Vin opublikuvav veliku chastinu dokumentiv pislya jogo vihodu na pensiyu U statti opublikovanij v 1894 roci vin vivchav gratki yaki nazvav podvijnimi grupami nim Dualgruppen Vin takozh zaznachiv sho dlya gratok zagalom modulyarnij zakon ye ekvivalentnim dvoyistomu Dedekind takozh zaznachiv sho bud yaka gratka komutativnogo kilcya zadovolnyaye nastupnij formi modulyarnoyi identichnosti yaka takozh ye samodvoyistoyu x b a b x a b Vin nazivav gratki yaki zadovolnyayut cij totozhnosti podvijnoyu grupoyu idealnogo tipu nim Dualgruppen vom Idealtypus U suchasnij literaturi yih chastishe nazivayut distributivnimi gratkami Div takozhDistributivna gratka Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi PosilannyaCorry Leo Modern algebra and the rise of mathematical structures vid 2nd s 121 129 ISBN 978 3 7643 7002 2 1897 Ueber Zerlegungen von Zahlen durch ihre grossten gemeinsamen Teiler Braunschweiger Festschrift 1 40 Dedekind Richard 1900 Ueber die von drei Moduln erzeugte Dualgruppe Mathematische Annalen 53 3 371 403 doi 10 1007 BF01448979 Fofanova T S 2001 Semi modular lattice u Hazewinkel Michiel red Matematichna enciklopediya Springer ISBN 978 1 55608 010 4 Maeda Shuichiro 1965 On the symmetry of the modular relation in atomic lattices Journal of Science of the Hiroshima University 29 165 170 1997 The many lives of lattice theory PDF Notices of the American Mathematical Society 44 11 1440 1445 ISSN 0002 9920 Skornyakov L A 2001 Modular lattice u Hazewinkel Michiel red Matematichna enciklopediya Springer ISBN 978 1 55608 010 4 Stern Manfred 1999 Semimodular lattices Cambridge University Press ISBN 978 0 521 46105 4