Многогранники Ганнера — клас опуклих многогранників, які можна отримати рекурсивно з відрізка за допомогою двох операцій: взяття прямого добутку і перехід до двоїстого многогранника.
Названі на честь [en], який розглянув їх 1956 року.
Побудова
Многогранники Ганнера утворюють мінімальний клас многогранників, що задовольняє таким умовам:
- Відрізок прямої є одновимірним многогранником Ганнера.
- Прямий добуток двох многогранників Ганнера є многогранником Ганнера. (Його розмірність дорівнює сумі розмірностей двох початкових многогранників.)
- Многогранник, двоїстий до многогранника Ганнера є многогранником Ганнера. (Цей многогранник має ту ж розмірність, що й початковий.)
Зауваження
- Замість операції переходу до двоїстого многогранника можна брати опуклу оболонку об'єднання многогранників, що містяться в перпендикулярних підпросторах.
Приклади
- Квадрат — це многогранник Ганнера як прямий добуток двох відрізків.
- Куб — це многогранник Ганнера як прямий добуток трьох відрізків.
- Октаедр — також многогранник Ганнера як многогранник, двоїстий до куба.
В розмірності три будь-який многогранник Ганнера комбінаторно еквівалентний одному з цих двох видів многогранників. У вищих вимірах аналоги куба і октаедра, гіперкуби і гіпероктаедри, також є многогранниками Ганнера. Однак є й інші приклади. Зокрема восьмигранна призма — чотиривимірна призма, в основі якої октаедр. Вона є многогранником Ганнера, як добуток октаедра на відрізок.
Властивості
- Многогранники Ганнера центрально-симетричні.
- Будь-який многогранник Ганнера комбінаторно еквівалентний многограннику з координатами будь-якої вершини, що набувають значень 0, 1 або −1.
- Загальне число граней -вимірного многогранника Ганнера дорівнює .
- -гіпотеза Калаї полягає в тому, що це число мінімальне для центрально-симетричних многогранників.
- Протилежні грані многогранника Ганнера не перетинаються, і разом містять усі вершини многогранника.
- Зокрема, опукла оболонка двох таких граней є весь многогранник.
- Як наслідок, усі грані многогранника Ганнера мають однакове число вершин.
- Однак грані можуть не бути ізоморфними одна одній. Наприклад, у восьмигранній 4-призмі дві грані є октаедрами, а решта вісім граней — трикутними призмами.
- Як наслідок, усі грані многогранника Ганнера мають однакове число вершин.
- Двоїста властивість полягає в тому, що протилежні вершини суміжні з усіма гранями многогранника.
- Зокрема, опукла оболонка двох таких граней є весь многогранник.
- , тобто добуток об'ємів самого многогранника і його двоїстого, для многогранника Ганнера той самий, що у й куба.
- Гіпотеза Малера полягає в тому, що серед центрально-симетричних опуклих тіл цей об'єм досягає мінімуму на многогранниках Ганнера.
- Число комбінаторних типів многогранників Ганнера розмірності d таке саме, як число послідовно-паралельних графів з d ребрами. Для d = 1, 2, 3, …, це послідовність A058387 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.
- 1, 1, 2, 4, 8, 18, 40, 94, 224, 548, …
Примітки
- Hanner, Olof (1956), Intersections of translates of convex bodies, Mathematica Scandinavica, 4: 65—87, MR 0082696.
- Freij, Ragnar (2012), (PDF), Ph.D. thesis, Department of Mathematical Sciences, Chalmers Institute of Technology, архів оригіналу (PDF) за 18 січня 2021, процитовано 20 січня 2021.
- (1989), The number of faces of centrally-symmetric polytopes, , 5 (1): 389—391, doi:10.1007/BF01788696, MR 1554357.
- Sanyal, Raman; Werner, Axel; (2009), On Kalai's conjectures concerning centrally symmetric polytopes, , 41 (2): 183—198, doi:10.1007/s00454-008-9104-8, MR 2471868/
- Kozachok, Marina (2012), Perfect prismatoids and the conjecture concerning with face numbers of centrally symmetric polytopes, Yaroslavl International Conference "Discrete Geometry" dedicated to the centenary of A.D.Alexandrov (Yaroslavl, August 13-18, 2012) (PDF), P.G. Demidov Yaroslavl State University, International B.N. Delaunay Laboratory, с. 46—49
{{}}
: Обслуговування CS1: Сторінки з параметром url-status, але без параметра archive-url (). - Reisner, S. (1991), Certain Banach spaces associated with graphs and CL-spaces with 1-unconditional bases, Journal of the London Mathematical Society, Second Series, 43 (1): 137—148, doi:10.1112/jlms/s2-43.1.137, MR 1099093.
- Martini, H.; Swanepoel, K. J.; de Wet, P. Oloff (2009), Absorbing angles, Steiner minimal trees, and antipodality, Journal of Optimization Theory and Applications, 143 (1): 149—157, arXiv:1108.5046, doi:10.1007/s10957-009-9552-1, MR 2545946.
- Kim, Jaegil (2014), Minimal volume product near Hanner polytopes, Journal of Functional Analysis, 266 (4): 2360—2402, arXiv:1212.2544, doi:10.1016/j.jfa.2013.08.008, MR 3150164.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Mnogogranniki Gannera klas opuklih mnogogrannikiv yaki mozhna otrimati rekursivno z vidrizka za dopomogoyu dvoh operacij vzyattya pryamogo dobutku i perehid do dvoyistogo mnogogrannika Kub i dvoyistij jomu oktaedr dva trivimirnih mnogogranniki Gannera Chotirivimirna vosmigranna prizma pershij priklad nepravilnogo mnogogrannika Gannera Nazvani na chest en yakij rozglyanuv yih 1956 roku PobudovaMnogogranniki Gannera utvoryuyut minimalnij klas mnogogrannikiv sho zadovolnyaye takim umovam Vidrizok pryamoyi ye odnovimirnim mnogogrannikom Gannera Pryamij dobutok dvoh mnogogrannikiv Gannera ye mnogogrannikom Gannera Jogo rozmirnist dorivnyuye sumi rozmirnostej dvoh pochatkovih mnogogrannikiv Mnogogrannik dvoyistij do mnogogrannika Gannera ye mnogogrannikom Gannera Cej mnogogrannik maye tu zh rozmirnist sho j pochatkovij Zauvazhennya Zamist operaciyi perehodu do dvoyistogo mnogogrannika mozhna brati opuklu obolonku ob yednannya mnogogrannikiv sho mistyatsya v perpendikulyarnih pidprostorah PrikladiKvadrat ce mnogogrannik Gannera yak pryamij dobutok dvoh vidrizkiv Kub ce mnogogrannik Gannera yak pryamij dobutok troh vidrizkiv Oktaedr takozh mnogogrannik Gannera yak mnogogrannik dvoyistij do kuba V rozmirnosti tri bud yakij mnogogrannik Gannera kombinatorno ekvivalentnij odnomu z cih dvoh vidiv mnogogrannikiv U vishih vimirah analogi kuba i oktaedra giperkubi i giperoktaedri takozh ye mnogogrannikami Gannera Odnak ye j inshi prikladi Zokrema vosmigranna prizma chotirivimirna prizma v osnovi yakoyi oktaedr Vona ye mnogogrannikom Gannera yak dobutok oktaedra na vidrizok VlastivostiMnogogranniki Gannera centralno simetrichni Bud yakij mnogogrannik Gannera kombinatorno ekvivalentnij mnogogranniku z koordinatami bud yakoyi vershini sho nabuvayut znachen 0 1 abo 1 Zagalne chislo granej d displaystyle d vimirnogo mnogogrannika Gannera dorivnyuye 3 d displaystyle 3 d 3 d displaystyle 3 d gipoteza Kalayi polyagaye v tomu sho ce chislo minimalne dlya centralno simetrichnih mnogogrannikiv Protilezhni grani mnogogrannika Gannera ne peretinayutsya i razom mistyat usi vershini mnogogrannika Zokrema opukla obolonka dvoh takih granej ye ves mnogogrannik Yak naslidok usi grani mnogogrannika Gannera mayut odnakove chislo vershin Odnak grani mozhut ne buti izomorfnimi odna odnij Napriklad u vosmigrannij 4 prizmi dvi grani ye oktaedrami a reshta visim granej trikutnimi prizmami Dvoyista vlastivist polyagaye v tomu sho protilezhni vershini sumizhni z usima granyami mnogogrannika tobto dobutok ob yemiv samogo mnogogrannika i jogo dvoyistogo dlya mnogogrannika Gannera toj samij sho u j kuba Gipoteza Malera polyagaye v tomu sho sered centralno simetrichnih opuklih til cej ob yem dosyagaye minimumu na mnogogrannikah Gannera Chislo kombinatornih tipiv mnogogrannikiv Gannera rozmirnosti d take same yak chislo poslidovno paralelnih grafiv z d rebrami Dlya d 1 2 3 ce poslidovnist A058387 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS 1 1 2 4 8 18 40 94 224 548 PrimitkiHanner Olof 1956 Intersections of translates of convex bodies Mathematica Scandinavica 4 65 87 MR 0082696 Freij Ragnar 2012 PDF Ph D thesis Department of Mathematical Sciences Chalmers Institute of Technology arhiv originalu PDF za 18 sichnya 2021 procitovano 20 sichnya 2021 1989 The number of faces of centrally symmetric polytopes 5 1 389 391 doi 10 1007 BF01788696 MR 1554357 Sanyal Raman Werner Axel 2009 On Kalai s conjectures concerning centrally symmetric polytopes 41 2 183 198 doi 10 1007 s00454 008 9104 8 MR 2471868 Kozachok Marina 2012 Perfect prismatoids and the conjecture concerning with face numbers of centrally symmetric polytopes Yaroslavl International Conference Discrete Geometry dedicated to the centenary of A D Alexandrov Yaroslavl August 13 18 2012 PDF P G Demidov Yaroslavl State University International B N Delaunay Laboratory s 46 49 a href wiki D0 A8 D0 B0 D0 B1 D0 BB D0 BE D0 BD Citation title Shablon Citation citation a Obslugovuvannya CS1 Storinki z parametrom url status ale bez parametra archive url posilannya Reisner S 1991 Certain Banach spaces associated with graphs and CL spaces with 1 unconditional bases Journal of the London Mathematical Society Second Series 43 1 137 148 doi 10 1112 jlms s2 43 1 137 MR 1099093 Martini H Swanepoel K J de Wet P Oloff 2009 Absorbing angles Steiner minimal trees and antipodality Journal of Optimization Theory and Applications 143 1 149 157 arXiv 1108 5046 doi 10 1007 s10957 009 9552 1 MR 2545946 Kim Jaegil 2014 Minimal volume product near Hanner polytopes Journal of Functional Analysis 266 4 2360 2402 arXiv 1212 2544 doi 10 1016 j jfa 2013 08 008 MR 3150164