Метод максимальної правдоподібності (також метод найбільшої вірогідності) у математичній статистиці — це метод оцінювання невідомого параметра шляхом максимізації функції правдоподібності. Він ґрунтується на припущенні про те, що вся інформація про статистичну вибірку міститься у цій функції. Метод максимальної правдоподібності був проаналізований, рекомендований і значно популяризуваний Р. Фішером між 1912 і 1922 роками (хоча раніше він використовувався Гаусом, Лапласом і іншими). Оцінка максимальної правдоподібності є популярним статистичним методом, який використовується для створення статистичної моделі на основі даних, і забезпечення оцінки параметрів моделі.
Метод максимальної правдоподібності відповідає багатьом відомим методам оцінки в області статистики. Наприклад, припустимо, що ви зацікавлені зростом мешканців України. Припустимо, у вас дані стосовно зросту деякої кількості людей, а не всього населення. Крім того передбачається, що зріст є нормально розподіленою величиною з невідомою дисперсією і середнім значенням. Вибіркові середнє значення і дисперсія зросту є максимально правдоподібними до середнього значення і дисперсії всього населення.
Для фіксованого набору даних і базової (імовірнісної моделі), використовуючи метод максимальної правдоподібності, ми набудемо значень параметрів моделі, які роблять дані «ближчими» до реальних. Оцінка максимальної правдоподібності дає унікальний і простий спосіб визначити рішення у разі нормального розподілу.
Застосування
Метод оцінки максимальної правдоподібності застосовується для широкого кола статистичних моделей, зокрема:
- лінійні моделі і узагальнені лінійні моделі;
- факторний аналіз;
- моделювання структурних рівнянь;
- багато ситуацій, в рамках перевірки гіпотези і формування довірчого інтервалу;
- дискретні моделі вибору.
Метод застосовується в широких областях науки, зокрема:
- системи зв'язку;
- психометрія;
- економетрика;
- оцінювання кутових координат джерел сигналів, їх частоти і часу затримки в акустичних і електромагнітних системах;
- моделювання в ядерній фізиці і фізиці елементарних частинок;
- обчислювальна філогенетика;
- моделювання каналів в транспортних мережах.
Визначення
Нехай маємо вибірку з розподілу
, де
— невідомий параметр. Нехай
— функція правдоподібності, де
. Точкова оцінка
називається оцінкою максимальної правдоподібності параметра . Таким чином, оцінка максимальної правдоподібності — це така оцінка, яка максимізує функцію правдоподібності при фіксованій реалізації вибірки.
Зауваження
- Оскільки функція
монотонно зростає на всій області визначення, максимум будь-якої функції
є максимумом функції
, і навпаки. Таким чином,
,
де — логарифмічна функція правдоподібності.
- Оцінка максимальної правдоподібності, загалом, може бути зміщеною (див. приклади).
Приклади
- Нехай
— незалежна вибірка з неперервного рівномірного розподілу на відрізку
, де
— невідомий параметр. Тоді функція правдоподібності має вигляд
Остання рівність може бути переписана у вигляді:
де , звідки видно, що свого максимуму функція правдоподібності досягає в точці
. Таким чином
.
- Нехай
— незалежна вибірка з нормального розподілу з відомим середнім і дисперсією. Побудуємо оцінку максимальної правдоподібності
для невідомого вектора параметрів
. Логарифмічна функція правдоподібності приймає вигляд
.
Щоб знайти її максимум, прирівнюємо до нуля часткові похідні:
звідки
— вибіркове середнє, а
— вибіркова дисперсія.
Примітки
- Слюсар В.И. Синтез алгоритмов измерения дальности М источников при дополнительном стробировании отсчетов АЦП.// Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника.- 1996. - Том 39, № 5. - C. 55 - 62.[1] [ 5 червня 2014 у Wayback Machine.]
- Слюсар В.И. Предельное разрешение дальномерных процедур максимального правдоподобия.// Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника.- 1998. - Том 41, № 11. - C. 39 - 45. [2] [ 25 січня 2020 у Wayback Machine.]
Джерела
- Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
- Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
- Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
- Руденко В. М. (2012). Математична статистика. Київ: Центр учбової літератури. с. 158. ISBN .
- Capinski, Marek; Kopp, Peter E. (2004). Measure, Integral and Probability. Springer Verlag. ISBN .
- Williams D. (1991). Probability with Martingales. Cambridge University Press. ISBN .
- Варюхин В. А., Покровский В. И., Сахно В. Ф. Модифицированная функция правдоподобия в задаче определения угловых координат источников с помощью антенной решетки, Докл. АН СССР, 1983, том 270, номер 5, С. 1092—1094.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет