Машина Атвуда

Маши́на А́твуда — прилад для проведення лабораторних експериментів для перевірки механічних законів руху з незмінним прискоренням. Названа на честь винахідника Джорджа Атвуда.

Зображення машини Атвуда, 1905.

Ідеальна машина Атвуда складається з двох об'єктів мас m₁ і m₂, пов'язаних нерозтяжною, невагомою ниттю, перекинутою через ідеальний невагомий блок.

Коли m₁ = m₂, машина перебуває в байдужій рівновазі незалежно від положення вантажів.

Коли m₁ ≠ m₂, обидві маси зазнають прискорення.

Вираз для сталого прискорення

для двох вислих мас машини Атвуда. Наша домовленість про знаки, виражена через вектори прискорення, така, що m₁ прискорюється додолу, а m₂ — догори, як було б у випадку, коли m₁ > m₂

Ми можемо отримати рівняння для прискорення через використання аналізу сил. Якщо ми розглядаємо невагому, нерозтяжну нить і ідеальний невагомий блок, то сили, які ми повинні врахувати: сила розтягу (T) і вага обох мас (W₁ і W₂). Для обчислення прискорення нам треба розглянути сили, що впливають на кожен вантаж індивідуально. Використовуючи другий закон Ньютона (за умови ${\displaystyle m_{1}>m_{2}}$), ми можемо вивести систему рівнянь для прискорення (a).

Ми прийняли, що для ${\displaystyle m_{1}}$ a додатне, коли спрямоване додолу, а для ${\displaystyle m_{2}}$ — коли догори. Ваги ${\displaystyle m_{1}}$ і ${\displaystyle m_{2}}$ це просто ${\displaystyle W_{1}=m_{1}g}$ і ${\displaystyle W_{2}=m_{2}g}$ відповідно.

Сили, що впливають на m₁:

${\displaystyle \;m_{1}g-T=m_{1}a}$

Сили, що впливають на m₂:

${\displaystyle \;T-m_{2}g=m_{2}a}$

Додаючи два попередні рівняння, отримуємо

${\displaystyle \;m_{1}g-m_{2}g=m_{1}a+m_{2}a}$,

і наша заключна формула для прискорення

${\displaystyle a=g{m_{1}-m_{2} \over m_{1}+m_{2}}}$

Також прискорення, спричинене гравітацією, можна знайти, вимірявши час руху вагів і обчисливши значення для постійного прискорення a: ${\displaystyle d={1 \over 2}at^{2}}$.

Машину Атвуда іноді використовують для ілюстрації методу Лагранжа отримання рівняння руху.

Рівняння для розтягу

Математична модель хитної машини Атвуда

Може бути корисним знати рівняння для ниті. Для обчислення розтягу ми підставляємо рівняння для прискорення в одне з двох силових рівнянь.

${\displaystyle a=g{m_{1}-m_{2} \over m_{1}+m_{2}}}$

Наприклад, підставляючи в ${\displaystyle m_{1}a=m_{1}g-T}$, ми отримуємо

${\displaystyle T={2gm_{1}m_{2} \over m_{1}+m_{2}}}$

Рівняння для блока з інерцією і тертям

Для дуже малих різниць між m₁ і m₂, обертовою інерцією I блока радіуса r не можна знехтувати. Кутове прискорення блока за умови, що нить не проковзує по блоку, таке:

${\displaystyle \alpha ={a \over r},}$

де ${\displaystyle \alpha }$ — це кутове прискорення. Тоді сумарний крутильний момент:

${\displaystyle \tau _{net}=\left(T_{1}-T_{2}\right)r-\tau _{friction}=I\alpha }$

Комбінуючи з другим законом Ньютона для вислих мас і розв'язуючи для T₁, T₂ і a, маємо:

Прискорення:

${\displaystyle a={{g(m_{1}-m_{2})-{\tau _{friction} \over r}} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}$

Розтяг у сегмент ниті поблизу m₁:

${\displaystyle T_{1}={{m_{1}g(2m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}+{{\tau _{friction}} \over {rg}})} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}$

Розтяг у сегмент ниті поблизу m₂:

${\displaystyle T_{2}={{m_{2}g(2m_{1}+{{I} \over {r^{2}}}+{{\tau _{friction}} \over {rg}})} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}$

Якщо тертя вальниці дуже мале (але не інерція блока), ці рівняння спрощуються до такого вигляду:

Вагончики Київського фунікулера

Прискорення:

${\displaystyle a={{g(m_{1}-m_{2})} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}$

Розтяг у сегмент ниті поблизу m₁:

${\displaystyle T_{1}={{m_{1}g(2m_{2}+{{I} \over {r^{2}}})} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}$

Розтяг у сегмент ниті поблизу m₂:

${\displaystyle T_{2}={{m_{2}g(2m_{1}+{{I} \over {r^{2}}})} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}$

Практичне застосування

Ліфти використовують противагу, нагадуючи машину Атвуда, і таким чином звільняють тяговий мотор від навантаження необхідного для підтримки кабіни ліфта, тож мотору потрібно подолати лише різницю у вазі та інерцію двох мас. Цей самий принцип перейняли у фунікулерах, де використовують два вагони на похилих коліях.

Примітки

1. Tipler, Paul A. (1991). Physics For Scientists and Engineers, Third Edition, Extended Version. New York: Worth Publishers. ISBN . Chapter 6, example 6-13, page 160.
2. (1980). Classical Mechanics, second Edition. New Delhi: Addison-Wesley/Narosa Indian Student Edition. ISBN . Section 1-6, example 2, pages 26-27.