Azərbaycanca
Беларускі
Dansk
Deutsch
Española
Français
Indonesia
Italiana
日本語
Қазақ
Lietuvos
Nederlands
Português
Русский
සිංහල
แบบไทย
Türkçe
Українська
中國人
United State
Afrikaans
Лічба (прасл. *ličiti), рахування, рахунок (пол. rachować, від віл. raehiyn), рідко щитання ((псевдоросіянізм), дав.-рус. съчьтати < прасл. *sъ і прасл. *čьtati) — це процес знаходження числа елементів скінченної множини об'єктів. Традиційний спосіб лічби складається із постійно зростаючих (уявних чи розмовних) лічильників на одиницю для кожного елемента множини, у якийсь порядок, роблячи маркування (або заміну) цих елементів, щоб уникнути використовування того самого елемента декілька разів, доки не залишилося не використаних елементів; якщо лічильник був встановлений на одиницю після першого об'єкта, значення, після використання фінального об'єкта, дає бажану кількість елементів. Зв'язаний термін перерахування відноситься до унікальної ідентифікації елементів скінченної (комбінаторної) множини або нескінченної множини шляхом присвоєння номера кожному елементу.
Лічба іноді охоплює номера відмінні від одиниці; наприклад, при рахуванні грошей, не беручи до уваги дрібні гроші, «рахуючи по два» (2, 4, 6, 8, 10, 12, …), або «рахуючи по п'ять» (5, 10, 15, 20, 25, …).
Існують археологічні докази того, що люди використовують лічбу щонайменше 50 000 років. Лічба, здебільшого, використовувалася стародавніми цивілізаціями задля контролю соціальних та економічних показників, таких як кількість членів групи, кількість здобутих тварин, майна чи боргу (тобто бухгалтерія). Розвиток лічби привів до розвитку математичної нотації, систем числення та письма.
Форми лічби
Лічба може виглядати по різному.
Лічба може бути вербальною: тобто, проговорюється кожен номер вголос (або подумки), щоб відслідковувати прогрес. Це часто використовується для того, щоб рахувати об'єкти, які вже присутні, замість того щоб рахувати найрізноманітніші речі з плином часу.
Лічба може також бути у вигляді відміток: робимо помітку для кожного числа, а потім підраховуємо всі знаки, коли лічбу закінчено. Це корисно при лічбі об'єктів з плином часу, наприклад, скільки разів щось відбувається протягом доби. При лічбі 1 вважається основою; нормальна лічба проводиться до 10. Комп'ютери використовують систему числення з основою 2, так звану двійкову систему числення (у цій системі є лише дві цифри — 0 та 1).
Підрахунок може також бути у вигляді лічби за допомогою пальців, особливо при вимірюванні малих чисел. Це часто використовується дітьми для полегшення підрахунку і простих математичних операцій. Лічба пальцями використовує унарні позначення (один палець = одна одиниця), і, таким чином, обмежує підрахунок до 10 (якщо ви не враховуєте пальці ніг). Найдавніша лічба на пальцях використовувала чотири пальці і три кістки кожного пальця (фаланги) для підрахунку до числа дванадцять. Існують також інші системи лічби із застосуванням рук, наприклад Китайська система, за допомогою якої можна порахувати до 10, використовуючи тільки жести однієї руки. За допомогою двійкової пальцевої системи (основа лічби 2), стає можливим рахування пальцем до числа 1023 = 210 − 1.
Також для полегшення підрахунку можуть використовуватися різні пристрої, такі як абак, рахівниця.
Інклюзивна лічба
Інклюзивна лічба найчастіше зустрічається при роботі з часом у романських мовах. Як правило, при лічбі «8» днів від Неділі, понеділок — перший день, вівторок — другий день, і наступний понеділок буде восьмим днем. При підрахунку «інклюзивно» в неділю (початковий день) буде перший день і тому в наступну неділю буде восьмий день. Наприклад, французька фраза «два тижні» — це quinzaine (15 [днів]), подібні слова є грецькою (δεκαπενθήμερο, dekapenthímero), іспанською (quincena) та португальською (quinzena). На відміну від англійського слова «fortnight», що походить з «чотирнадцять ночей», як і архаїчне «sennight» від «сім днів»; В англійській мові ці слова не є прикладами інклюзивної лічби.
Імена на основі інклюзивної лічби також з'являються в інших календарях: в римському календарі nones (що означає «дев'ять») — це 8 днів до Іди; в християнському календарі Прощена неділя (позначає 50) означає 49 днів до пасхальної неділі.
Музична термінологія також використовує інклюзивну лічбу інтервалів між нотами в стандартному масштабі: піднімаючись на одну ноту ми потрапляємо на другий інтервал, на дві ноти — це третій інтервал, т. д., і піднімаючись на сім нот — це Октава.
Навчання та розвиток
Навчання лічбі є важливою освітньо-розвиваючої віхою у більшості культур світу. Навчаючись рахувати, дитина робить перший крок в математиці, тим самим засвоюючи найбільш фундаментальну ідею цієї дисципліни. Тим не менш, в деяких культурах Амазонії і Австралії не рахують та їх мови не мають слів, що позначають числа. Більшість дітей тільки з 2-річного віку мають деяку навичку у читанні номерних слів (тобто, кажучи «один, два, три, …»). Вони можуть відповісти на звичайні питання для невеликих чисел, наприклад, «що йде після трьох?». Вони можуть навіть мати навички у вказуванні на кожен об'єкт в наборі та в проговоренні одного числа за іншим. Це приводить багатьох батьків і вихователів до висновку, що дитина знає, як використовувати лічбу, щоб визначити розміри множини. Однак дослідники вважають, що потрібно близько року після засвоєння цієї навички дитиною, для усвідомлення того, що саме ці процедури означають і чому виконуються. У той же час, діти вчать назви потужності множин, які вони можуть використовувати.
Лічба в математиці
В математиці, суть лічби множини і знаходження результату n, полягає в тому, що вона встановлює однозначну відповідність (або бієкцію) набору з набором чисел {1, 2, …,n}. Фундаментальний факт, який може бути доведений методом математичної індукції, полягає в тому, що не може існувати взаємнооднозначна відповідність між {1, 2, …, n} і {1, 2, …, m}, тільки якщо n = m; цей факт (в поєднанні з тим фактом, що дві бієкції можуть бути складені таким чином, щоб дати ще одну бієкцію) гарантує, що лічба одного і того ж набору різними методами, ніколи не зможе привести до різних цифр (якщо не зроблена помилка). Це фундаментальна математична теорема, яка дає лічбі свою мету: яким би способом не рахувати (скінченну) множину, відповідь та ж сама. У більш широкому контексті, дана теорема є прикладом теореми в математичному полі (скінченної) комбінаторики — звідси (скінченна) комбінаторика іноді згадується як «математика лічби.»
Множина наборів, які виникають в математиці, не дозволяє бієкції бути створеною з {1, 2, …, n } для будь-якого натурального числа n; вони називаються нескінченні множини, в той час як ті набори, для яких така бієкція існує (для деякого N) називаються скінченними множинами. Нескінченні множини не можуть бути підраховані звичайним способом; насамперед, математичні теореми, які лежать в основі звичайного способу розв'язання для скінченних множин, є помилковими для нескінченних множин. Крім того, різні дефініції понять, у термінах яких ці теореми сформульовані, поки еквівалентні для скінченних множин, є нееквівалентними в контексті нескінченних множин.
Ідея лічби може бути розширена для них в сенсі визначення (існування) бієкції з деякими добре зрозумілими множинами. Наприклад, якщо набір може бути внесений у взаємнооднозначну відповідність з множиною всіх натуральних чисел, то він називається «лічильно-нескінченним». Цей вид лічби відрізняється докорінно від підрахунку скінченних множин в тому, що додавання нових елементів в набір не обов'язково збільшує його розміри, адже можливість взаємно однозначної відповідності з початковими множинами не виключається. Наприклад, множина всіх цілих чисел (включаючи від'ємні числа) може бути приведена у взаємнооднозначну відповідність з множиною натуральних чисел, і навіть, здавалося б, набагато більшими обсягами, так, що всіх скінченних послідовностей раціональних чисел раніше (тільки) лічильно-нескінченним. Тим не менш, є набори, такі як набір дійсних чисел, які можуть здатися «занадто великими» щоб визнати взаємнооднозначну відповідність з натуральними числами, і ці набори називаються «незліченними». Набори, для яких існує бієкція між ними, мають однакову потужність множини, і в самому загальному сенсі підрахунок множини може позначати визначення його елементів. Крім потужності, поставленої кожним із натуральних чисел, існує нескінченна ієрархія нескінченних множин, однак тільки дуже небагато такі потужності множин відбуваються у звичайній математиці (тобто, за межами теорії множин, яка вивчає можливі значення потужності).
Лічба, в основному з скінченних множин, має різні застосування в математиці. Один важливий принцип полягає в тому, що якщо дві множини X і Y мають однакове скінченне число елементів, що і функція f: X → Y є ін'єктивним відображенням, тоді воно також і сюр'єктивне, і навпаки. Пов'язаний факт відомий як принцип Діріхле, який стверджує, що якщо дві множини X і Y мають кінцеве число елементів n і m при n > m, то будь-яке відображення f: X → Y не є ін'єктивним (Отже, існує два різних елемента X, що f відображає на один той же самий елемент Y); це випливає з попереднього принципу, тому що, якби f було ін'єктивним, то тоді обмеження його було б точною підмножиною S від X з м елементами, чиє обмеження буде сюр'єктивним, всупереч тому факту, що для х в Х поза S, f(х) не може бути в образі обмеження. Схожі аргументи лічби можуть довести існування певних об'єктів без явного наведення прикладів. У випадку нескінченних множин це може навіть застосовуватися в ситуаціях, коли неможливо навести приклад; зокрема, повинні існувати дійсні числа, які не є [en], тому що наведена множина тільки зліченно нескінченна, але за визначенням не-обчислиме число не може бути точно визначено.
Розділ нумераційної комбінаторики допомагає з обчисленнями числа елементів скінченних множин, фактично не рахуючи їх; останнє зазвичай неможливо, тому що нескінченні сімейства скінченних множин розглядаються відразу, такі як множини перестановок {1, 2, …, n} для будь-якого натурального числа n.
Див. також
Примітки
- . sum.in.ua (укр.). Архів оригіналу за 12 листопада 2018. Процитовано 11 листопада 2018.
- . УКРЛІТ.ORG. Архів оригіналу за 18 грудня 2019. Процитовано 11 листопада 2018.
- . hrinchenko.com (ua) . Архів оригіналу за 12 листопада 2018. Процитовано 11 листопада 2018.
- An Introduction to the History of Mathematics (6th Edition) by (1990) p.9
- Macey, Samuel L. (1989). . Atlanta, Georgia: University of Georgia Press. с. 92. ISBN . Архів оригіналу за 26 квітня 2015. Процитовано 29 червня 2015.
- James Evans, The History and Practice of Ancient Astronomy [ 27 квітня 2021 у Wayback Machine.]. Oxford University Press, 1998. . Chapter 4, page 164.
- , Reeve, R., Reynolds, F., & Lloyd, D. (2008). Numerical thought with and without words: Evidence from indigenous Australian children. Proceedings of the National Academy of Sciences, 105(35), 13179-13184.
- Gordon, P. (2004). Numerical cognition without words: Evidence from Amazonia. Science, 306, 496—499.
- Fuson, K.C. (1988). Children's counting and concepts of number. New York: Springer-Verlag.
- Le Corre, M., & Carey, S. (2007). One, two, three, four, nothing more: An investigation of the conceptual sources of the verbal counting principles. Cognition, 105, 395—438.
- Le Corre, M., Van de Walle, G., Brannon, E. M., Carey, S. (2006). Re-visiting the competence/performance debate in the acquisition of the counting principles. Cognitive Psychology, 52(2), 130—169.
Посилання
- Лічба малоросійська, або українська [ 14 вересня 2020 у Wayback Machine.] // Українська мала енциклопедія : 16 кн. : у 8 т. / проф. Є. Онацький. — Буенос-Айрес, 1960. — Т. 4, кн. VII : Літери Ле — Ме. — С. 855. — 1000 екз.
- History of Counting-PlainMath.Net [ 14 травня 2012 у Wayback Machine.]
- things-that-count.net [ 15 грудня 2018 у Wayback Machine.]
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Lichba prasl liciti rahuvannya rahunok pol rachowac vid vil raehiyn ridko shitannya psevdorosiyanizm dav rus schtati lt prasl s i prasl ctati ce proces znahodzhennya chisla elementiv skinchennoyi mnozhini ob yektiv Tradicijnij sposib lichbi skladayetsya iz postijno zrostayuchih uyavnih chi rozmovnih lichilnikiv na odinicyu dlya kozhnogo elementa mnozhini u yakijs poryadok roblyachi markuvannya abo zaminu cih elementiv shob uniknuti vikoristovuvannya togo samogo elementa dekilka raziv doki ne zalishilosya ne vikoristanih elementiv yaksho lichilnik buv vstanovlenij na odinicyu pislya pershogo ob yekta znachennya pislya vikoristannya finalnogo ob yekta daye bazhanu kilkist elementiv Zv yazanij termin pererahuvannya vidnositsya do unikalnoyi identifikaciyi elementiv skinchennoyi kombinatornoyi mnozhini abo neskinchennoyi mnozhini shlyahom prisvoyennya nomera kozhnomu elementu Lichba za dopomogoyu vidmitok na en Lichba inodi ohoplyuye nomera vidminni vid odinici napriklad pri rahuvanni groshej ne beruchi do uvagi dribni groshi rahuyuchi po dva 2 4 6 8 10 12 abo rahuyuchi po p yat 5 10 15 20 25 Isnuyut arheologichni dokazi togo sho lyudi vikoristovuyut lichbu shonajmenshe 50 000 rokiv Lichba zdebilshogo vikoristovuvalasya starodavnimi civilizaciyami zadlya kontrolyu socialnih ta ekonomichnih pokaznikiv takih yak kilkist chleniv grupi kilkist zdobutih tvarin majna chi borgu tobto buhgalteriya Rozvitok lichbi priviv do rozvitku matematichnoyi notaciyi sistem chislennya ta pisma Formi lichbiLichba mozhe viglyadati po riznomu Lichba mozhe buti verbalnoyu tobto progovoryuyetsya kozhen nomer vgolos abo podumki shob vidslidkovuvati progres Ce chasto vikoristovuyetsya dlya togo shob rahuvati ob yekti yaki vzhe prisutni zamist togo shob rahuvati najriznomanitnishi rechi z plinom chasu Lichba mozhe takozh buti u viglyadi vidmitok robimo pomitku dlya kozhnogo chisla a potim pidrahovuyemo vsi znaki koli lichbu zakincheno Ce korisno pri lichbi ob yektiv z plinom chasu napriklad skilki raziv shos vidbuvayetsya protyagom dobi Pri lichbi 1 vvazhayetsya osnovoyu normalna lichba provoditsya do 10 Komp yuteri vikoristovuyut sistemu chislennya z osnovoyu 2 tak zvanu dvijkovu sistemu chislennya u cij sistemi ye lishe dvi cifri 0 ta 1 Pidrahunok mozhe takozh buti u viglyadi lichbi za dopomogoyu palciv osoblivo pri vimiryuvanni malih chisel Ce chasto vikoristovuyetsya ditmi dlya polegshennya pidrahunku i prostih matematichnih operacij Lichba palcyami vikoristovuye unarni poznachennya odin palec odna odinicya i takim chinom obmezhuye pidrahunok do 10 yaksho vi ne vrahovuyete palci nig Najdavnisha lichba na palcyah vikoristovuvala chotiri palci i tri kistki kozhnogo palcya falangi dlya pidrahunku do chisla dvanadcyat Isnuyut takozh inshi sistemi lichbi iz zastosuvannyam ruk napriklad Kitajska sistema za dopomogoyu yakoyi mozhna porahuvati do 10 vikoristovuyuchi tilki zhesti odniyeyi ruki Za dopomogoyu dvijkovoyi palcevoyi sistemi osnova lichbi 2 staye mozhlivim rahuvannya palcem do chisla 1023 210 1 Takozh dlya polegshennya pidrahunku mozhut vikoristovuvatisya rizni pristroyi taki yak abak rahivnicya Inklyuzivna lichbaInklyuzivna lichba najchastishe zustrichayetsya pri roboti z chasom u romanskih movah Yak pravilo pri lichbi 8 dniv vid Nedili ponedilok pershij den vivtorok drugij den i nastupnij ponedilok bude vosmim dnem Pri pidrahunku inklyuzivno v nedilyu pochatkovij den bude pershij den i tomu v nastupnu nedilyu bude vosmij den Napriklad francuzka fraza dva tizhni ce quinzaine 15 dniv podibni slova ye greckoyu dekapen8hmero dekapenthimero ispanskoyu quincena ta portugalskoyu quinzena Na vidminu vid anglijskogo slova fortnight sho pohodit z chotirnadcyat nochej yak i arhayichne sennight vid sim dniv V anglijskij movi ci slova ne ye prikladami inklyuzivnoyi lichbi Imena na osnovi inklyuzivnoyi lichbi takozh z yavlyayutsya v inshih kalendaryah v rimskomu kalendari nones sho oznachaye dev yat ce 8 dniv do Idi v hristiyanskomu kalendari Proshena nedilya poznachaye 50 oznachaye 49 dniv do pashalnoyi nedili Muzichna terminologiya takozh vikoristovuye inklyuzivnu lichbu intervaliv mizh notami v standartnomu masshtabi pidnimayuchis na odnu notu mi potraplyayemo na drugij interval na dvi noti ce tretij interval t d i pidnimayuchis na sim not ce Oktava Navchannya ta rozvitokNavchannya lichbi ye vazhlivoyu osvitno rozvivayuchoyi vihoyu u bilshosti kultur svitu Navchayuchis rahuvati ditina robit pershij krok v matematici tim samim zasvoyuyuchi najbilsh fundamentalnu ideyu ciyeyi disciplini Tim ne mensh v deyakih kulturah Amazoniyi i Avstraliyi ne rahuyut ta yih movi ne mayut sliv sho poznachayut chisla Bilshist ditej tilki z 2 richnogo viku mayut deyaku navichku u chitanni nomernih sliv tobto kazhuchi odin dva tri Voni mozhut vidpovisti na zvichajni pitannya dlya nevelikih chisel napriklad sho jde pislya troh Voni mozhut navit mati navichki u vkazuvanni na kozhen ob yekt v nabori ta v progovorenni odnogo chisla za inshim Ce privodit bagatoh batkiv i vihovateliv do visnovku sho ditina znaye yak vikoristovuvati lichbu shob viznachiti rozmiri mnozhini Odnak doslidniki vvazhayut sho potribno blizko roku pislya zasvoyennya ciyeyi navichki ditinoyu dlya usvidomlennya togo sho same ci proceduri oznachayut i chomu vikonuyutsya U toj zhe chas diti vchat nazvi potuzhnosti mnozhin yaki voni mozhut vikoristovuvati Lichba v matematiciV matematici sut lichbi mnozhini i znahodzhennya rezultatu n polyagaye v tomu sho vona vstanovlyuye odnoznachnu vidpovidnist abo biyekciyu naboru z naborom chisel 1 2 n Fundamentalnij fakt yakij mozhe buti dovedenij metodom matematichnoyi indukciyi polyagaye v tomu sho ne mozhe isnuvati vzayemnoodnoznachna vidpovidnist mizh 1 2 n i 1 2 m tilki yaksho n m cej fakt v poyednanni z tim faktom sho dvi biyekciyi mozhut buti skladeni takim chinom shob dati she odnu biyekciyu garantuye sho lichba odnogo i togo zh naboru riznimi metodami nikoli ne zmozhe privesti do riznih cifr yaksho ne zroblena pomilka Ce fundamentalna matematichna teorema yaka daye lichbi svoyu metu yakim bi sposobom ne rahuvati skinchennu mnozhinu vidpovid ta zh sama U bilsh shirokomu konteksti dana teorema ye prikladom teoremi v matematichnomu poli skinchennoyi kombinatoriki zvidsi skinchenna kombinatorika inodi zgaduyetsya yak matematika lichbi Mnozhina naboriv yaki vinikayut v matematici ne dozvolyaye biyekciyi buti stvorenoyu z 1 2 n dlya bud yakogo naturalnogo chisla n voni nazivayutsya neskinchenni mnozhini v toj chas yak ti nabori dlya yakih taka biyekciya isnuye dlya deyakogo N nazivayutsya skinchennimi mnozhinami Neskinchenni mnozhini ne mozhut buti pidrahovani zvichajnim sposobom nasampered matematichni teoremi yaki lezhat v osnovi zvichajnogo sposobu rozv yazannya dlya skinchennih mnozhin ye pomilkovimi dlya neskinchennih mnozhin Krim togo rizni definiciyi ponyat u terminah yakih ci teoremi sformulovani poki ekvivalentni dlya skinchennih mnozhin ye neekvivalentnimi v konteksti neskinchennih mnozhin Ideya lichbi mozhe buti rozshirena dlya nih v sensi viznachennya isnuvannya biyekciyi z deyakimi dobre zrozumilimi mnozhinami Napriklad yaksho nabir mozhe buti vnesenij u vzayemnoodnoznachnu vidpovidnist z mnozhinoyu vsih naturalnih chisel to vin nazivayetsya lichilno neskinchennim Cej vid lichbi vidriznyayetsya dokorinno vid pidrahunku skinchennih mnozhin v tomu sho dodavannya novih elementiv v nabir ne obov yazkovo zbilshuye jogo rozmiri adzhe mozhlivist vzayemno odnoznachnoyi vidpovidnosti z pochatkovimi mnozhinami ne viklyuchayetsya Napriklad mnozhina vsih cilih chisel vklyuchayuchi vid yemni chisla mozhe buti privedena u vzayemnoodnoznachnu vidpovidnist z mnozhinoyu naturalnih chisel i navit zdavalosya b nabagato bilshimi obsyagami tak sho vsih skinchennih poslidovnostej racionalnih chisel ranishe tilki lichilno neskinchennim Tim ne mensh ye nabori taki yak nabir dijsnih chisel yaki mozhut zdatisya zanadto velikimi shob viznati vzayemnoodnoznachnu vidpovidnist z naturalnimi chislami i ci nabori nazivayutsya nezlichennimi Nabori dlya yakih isnuye biyekciya mizh nimi mayut odnakovu potuzhnist mnozhini i v samomu zagalnomu sensi pidrahunok mnozhini mozhe poznachati viznachennya jogo elementiv Krim potuzhnosti postavlenoyi kozhnim iz naturalnih chisel isnuye neskinchenna iyerarhiya neskinchennih mnozhin odnak tilki duzhe nebagato taki potuzhnosti mnozhin vidbuvayutsya u zvichajnij matematici tobto za mezhami teoriyi mnozhin yaka vivchaye mozhlivi znachennya potuzhnosti Lichba v osnovnomu z skinchennih mnozhin maye rizni zastosuvannya v matematici Odin vazhlivij princip polyagaye v tomu sho yaksho dvi mnozhini X i Y mayut odnakove skinchenne chislo elementiv sho i funkciya f X Y ye in yektivnim vidobrazhennyam todi vono takozh i syur yektivne i navpaki Pov yazanij fakt vidomij yak princip Dirihle yakij stverdzhuye sho yaksho dvi mnozhini X i Y mayut kinceve chislo elementiv n i m pri n gt m to bud yake vidobrazhennya f X Y ne ye in yektivnim Otzhe isnuye dva riznih elementa X sho f vidobrazhaye na odin toj zhe samij element Y ce viplivaye z poperednogo principu tomu sho yakbi f bulo in yektivnim to todi obmezhennya jogo bulo b tochnoyu pidmnozhinoyu S vid X z m elementami chiye obmezhennya bude syur yektivnim vsuperech tomu faktu sho dlya h v H poza S f h ne mozhe buti v obrazi obmezhennya Shozhi argumenti lichbi mozhut dovesti isnuvannya pevnih ob yektiv bez yavnogo navedennya prikladiv U vipadku neskinchennih mnozhin ce mozhe navit zastosovuvatisya v situaciyah koli nemozhlivo navesti priklad zokrema povinni isnuvati dijsni chisla yaki ne ye en tomu sho navedena mnozhina tilki zlichenno neskinchenna ale za viznachennyam ne obchislime chislo ne mozhe buti tochno viznacheno Rozdil numeracijnoyi kombinatoriki dopomagaye z obchislennyami chisla elementiv skinchennih mnozhin faktichno ne rahuyuchi yih ostannye zazvichaj nemozhlivo tomu sho neskinchenni simejstva skinchennih mnozhin rozglyadayutsya vidrazu taki yak mnozhini perestanovok 1 2 n dlya bud yakogo naturalnogo chisla n Div takozhKardinalne chislo Kombinatorika Psihologiya rozvitku Istoriya matematiki Poryadkove chislo Spisok chiselPrimitki sum in ua ukr Arhiv originalu za 12 listopada 2018 Procitovano 11 listopada 2018 UKRLIT ORG Arhiv originalu za 18 grudnya 2019 Procitovano 11 listopada 2018 hrinchenko com ua Arhiv originalu za 12 listopada 2018 Procitovano 11 listopada 2018 An Introduction to the History of Mathematics 6th Edition by 1990 p 9 Macey Samuel L 1989 Atlanta Georgia University of Georgia Press s 92 ISBN 978 0 8203 3796 8 Arhiv originalu za 26 kvitnya 2015 Procitovano 29 chervnya 2015 James Evans The History and Practice of Ancient Astronomy 27 kvitnya 2021 u Wayback Machine Oxford University Press 1998 ISBN 019987445X Chapter 4 page 164 Reeve R Reynolds F amp Lloyd D 2008 Numerical thought with and without words Evidence from indigenous Australian children Proceedings of the National Academy of Sciences 105 35 13179 13184 Gordon P 2004 Numerical cognition without words Evidence from Amazonia Science 306 496 499 Fuson K C 1988 Children s counting and concepts of number New York Springer Verlag Le Corre M amp Carey S 2007 One two three four nothing more An investigation of the conceptual sources of the verbal counting principles Cognition 105 395 438 Le Corre M Van de Walle G Brannon E M Carey S 2006 Re visiting the competence performance debate in the acquisition of the counting principles Cognitive Psychology 52 2 130 169 PosilannyaLichba malorosijska abo ukrayinska 14 veresnya 2020 u Wayback Machine Ukrayinska mala enciklopediya 16 kn u 8 t prof Ye Onackij Buenos Ajres 1960 T 4 kn VII Literi Le Me S 855 1000 ekz History of Counting PlainMath Net 14 travnya 2012 u Wayback Machine things that count net 15 grudnya 2018 u Wayback Machine