Лінійне диференційне рівняння зі сталими коефіцієнтами з правою частиною спеціального виду — диференційне рівняння виду
- ,
де коефіцієнти - певні сталі, - довільна функція.
Однорідне лінійне диференційне рівняння зі сталими коефіцієнтами
- .
Розв'язки однорідного рівняння
Розв'язки однорідного лінійного диференціального рівняння зі сталими коефіцієнтами шукаються у вигляді
- ,
де - комплексне число. Підстановка цієї пробної функції в рівняння дає характеристичне рівняння
- .
Характеристичне рівняння є алгебраїчним рівнянням n-го степеня і має n у загальному випадку комплексних розв'язків. Якщо серед розв'язків немає кратних, то функції
- ,
є лінійно-незалежними і загальний розв'язок однорідного диференційного рівняння записується у вигляді
- ,
де - довільні сталі.
Якщо серед розв'язків є кратні, то
- ,
де - поліном степеня, не вищого за k, де k - кратність i-го кореня.
Розв'язування неоднорідного рівняння
Загальний розв'язок лінійного диференціального рівняння є сумою лінійної комбінації лінійно незалежних розв'язків однорідного рівняння і одного часткового розв'язку неоднорідного рівняння. Існує кілька методів знаходження часткових розв'язків неоднорідного рівняння.
Наприклад, виконавши перетворення Лапласа над правою та лівою частинами рівняння, можна отримати алгебраїчний вираз для образу шуканої функції, а оберненим перетворенням Лапласа відтворити вигляд самої функції.
Джерела
- Самойленко А. М.; Перестюк М. О.; (2003). Диференціальні рівняння (PDF). Київ: Либідь. с. 600. ISBN .(укр.)
- Кривошея С.А.; Перестюк М.О.; (2004). Диференціальні та інтегральні рівняння (PDF). Київ: Либідь. с. 407. ISBN .(укр.)
- Шкіль М.І.; Лейфура В.М.; (2003). Диференціальні рівняння. Київ: Техніка. с. 368. ISBN .(укр.)
Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Linijne diferencijne rivnyannya zi stalimi koeficiyentami z pravoyu chastinoyu specialnogo vidu diferencijne rivnyannya vidu a n y n a n 1 y n 1 a 0 y f x displaystyle a n y n a n 1 y n 1 ldots a 0 y f x de koeficiyenti a n displaystyle a n pevni stali f x displaystyle f x dovilna funkciya Odnoridne linijne diferencijne rivnyannya zi stalimi koeficiyentami a n y n a n 1 y n 1 a 0 y 0 displaystyle a n y n a n 1 y n 1 ldots a 0 y 0 Rozv yazki odnoridnogo rivnyannyaRozv yazki odnoridnogo linijnogo diferencialnogo rivnyannya zi stalimi koeficiyentami shukayutsya u viglyadi y C e l x displaystyle y Ce lambda x de l displaystyle lambda kompleksne chislo Pidstanovka ciyeyi probnoyi funkciyi v rivnyannya daye harakteristichne rivnyannya a n l n a n 1 l n 1 a 1 l a 0 0 displaystyle a n lambda n a n 1 lambda n 1 ldots a 1 lambda a 0 0 Harakteristichne rivnyannya ye algebrayichnim rivnyannyam n go stepenya i maye n u zagalnomu vipadku kompleksnih rozv yazkiv Yaksho sered rozv yazkiv nemaye kratnih to funkciyi y i x e l i x displaystyle y i x e lambda i x ye linijno nezalezhnimi i zagalnij rozv yazok odnoridnogo diferencijnogo rivnyannya zapisuyetsya u viglyadi y x i 1 n C i e l i x displaystyle y x sum i 1 n C i e lambda i x de C i displaystyle C i dovilni stali Yaksho sered rozv yazkiv ye kratni to y x i 1 n P k i x e l i x displaystyle y x sum i 1 n P k i x e lambda i x de P k i x displaystyle P k i x polinom stepenya ne vishogo za k de k kratnist i go korenya Rozv yazuvannya neodnoridnogo rivnyannyaZagalnij rozv yazok linijnogo diferencialnogo rivnyannya ye sumoyu linijnoyi kombinaciyi linijno nezalezhnih rozv yazkiv odnoridnogo rivnyannya i odnogo chastkovogo rozv yazku neodnoridnogo rivnyannya Isnuye kilka metodiv znahodzhennya chastkovih rozv yazkiv neodnoridnogo rivnyannya Napriklad vikonavshi peretvorennya Laplasa nad pravoyu ta livoyu chastinami rivnyannya mozhna otrimati algebrayichnij viraz dlya obrazu shukanoyi funkciyi a obernenim peretvorennyam Laplasa vidtvoriti viglyad samoyi funkciyi DzherelaSamojlenko A M Perestyuk M O 2003 Diferencialni rivnyannya PDF Kiyiv Libid s 600 ISBN 966 06 0249 9 ukr Krivosheya S A Perestyuk M O 2004 Diferencialni ta integralni rivnyannya PDF Kiyiv Libid s 407 ISBN 966 06 0348 7 ukr Shkil M I Lejfura V M 2003 Diferencialni rivnyannya Kiyiv Tehnika s 368 ISBN 966 575 140 9 ukr Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi