Лінійним відображенням (лінійним оператором, лінійним перетворенням) — називається відображення векторного простору над полем в векторний простір (над тим же полем )
що має властивість лінійності:
Лінійне відображення зберігає операції додавання векторів і множення вектора на скаляр:
- адитивність
- однорідність
Лінійне відображення векторних просторів є їх гомоморфізмом. А у випадку бієктивності відображення то і ізоморфізмом.
Лінійне відображення — найважливіше поняття лінійної алгебри, завдяки якому вона отримала свою назву.
У функціональному аналізі розглядаються неперервні лінійні оператори між топологічними векторними просторами, але означення "неперервний" зазвичай випускається.
Лінійне відображення, лінійний оператор — узагальнення лінійної числової функції (точніше, функції у = кх) на випадок більш загальної множини аргументів і значень. Лінійні оператори, на відміну від нелінійних, достатньо добре досліджені, що дозволяє успішно застосовувати результати загальної теорії, оскільки їх властивості не залежать від природи величин.
Часткові випадки
- Лінійний функціонал — лінійний оператор, для якого
множина всіх лінійних функціоналів складає спряжений простір до , який теж є лінійним простором (позначається звичайно
)
- лінійне перетворення — лінійний оператор, для якого
- Тотожний оператор — оператор
, що відображає кожен елемент простору
в самого себе.
- Нульовий оператор — оператор, що переводить кожен елемент простору
в нульовий елемент простору
Композиції лінійних відображень
- Якщо f:V→W і g:W→Z є лінійними відображеннями, то відображення g•f : V→Z також є лінійним.
- Якщо існує обернене відображення до лінійного відображення, то воно теж є лінійним.
- Якщо f1:V→W і f2:V→W є лінійними відображеннями, то відображення f1+f2 (визначене як (f1+f2)(x) = f1(x) + f2(x)) теж є лінійним.
- Якщо f:V→W є лінійним відображенням і a елемент з поля K (базового для V і W), тоді відображення af, визначене як (af)(x) = a (f(x)), також лінійне.
В скінченномірному випадку ці властивості подібні властивостям матриць: множення, додавання і множення на скаляр.
Ядро та образ відображення
- Ядром лінійного відображення
називається така підмножина
що:
- Ядро лінійного відображення утворює лінійний підпростір в просторі
- Образом лінійного відображення
називається така підмножина
що:
- Образ лінійного відображення утворює лінійний підпростір в просторі
- Між розмірностями образу і ядра існує таке співвідношення:
Число називається ранг
і записується як
чи
Якщо розмірності і
скінченні й вибрані базиси, то лінійне відображення задається своєю матрицею відносно до цих базисів.
І ранг відображення збігається з рангом матриці відображення.
Матриця лінійного відображення
Якщо в просторі вибрано базис
, в просторі
вибрано базис
, то матрицею лінійного відображення в даних базисах називається матриця
j-ий стовпчик якої складається з координат вектора , тобто координат образу j-го базисного вектора
в базисі
Координати образу
вектора
в базисі
при лінійному відображенні
виражаються через координати вектора
в базисі
за формулою:
Матриці лінійного відображення в різних базисах
Якщо A і Ã відповідно матриці лінійного відображення в базисах
і
то
де S і T — матриці переходу від базису до базису
і від базису
до базису
відповідно:
При лінійному перетворенні (тобто, коли відображення в той же простір):
- для зміни базису використовується матриця переходу;
- матриці перетворення в різних базисах є подібними матрицями.
Див. також
Примітки
Джерела
- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)
- Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — .(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет