Лінійний неперервний оператор

Лінійний неперервний оператор ${\displaystyle A:X\rightarrow Y}$, що діє з лінійного топологічного простору X у лінійний топологічний простір Y — це лінійне відображення із X в Y, що має властивість неперервності.

Термін «лінійний неперервний оператор» зазвичай вживають у разі, коли Y багатовимірний. Якщо Y одновимірний, тобто збігається із самим полем (${\displaystyle \mathbb {R} }$ або ${\displaystyle \mathbb {C} }$), то прийнято вживати термін лінійний неперервний функціонал. Множину всіх лінійних неперервних операторів із X в Y позначають ${\displaystyle L(X,Y)}$.

В теорії нормованих просторів лінійні неперервні оператори більш відомі як обмежені лінійні з причин, викладених нижче. Теорія лінійних неперервних операторів відіграє важливу роль у функціональному аналізі, математичній фізиці та обчислювальній математиці.

Властивості

• Якщо X скінченновимірний, то будь-який лінійний оператор неперервний.
• Неперервність лінійного оператора в нулі рівносильна його неперервності в будь-якій іншій точці (і, отже, у всьому X).
• Для нормованих просторів умови неперервності й обмеженості (тобто скінченності операторної норми) рівносильні.. В загальному випадку з неперервності лінійного оператора випливає обмеженість, але зворотне істинне не завжди.
• Якщо X і Y — банахові простори, і образ оператора ${\displaystyle A\in L(X,Y)}$ збігається з простором Y, то існує обернений оператор ${\displaystyle A^{-1}\in L(Y,X)}$ (так звана теорема про обернений оператор).
• Множина всіх лінійних неперервних операторів з X в Y сама є лінійним топологічним простором. Якщо X і Y нормовані, то ${\displaystyle L(X,Y)}$ також нормована операторною нормою. Якщо Y — банахів, то й ${\displaystyle L(X,Y)}$ є такою, незалежно від повноти X.

Властивості лінійного неперервного оператора дуже залежать від властивостей просторів X і Y. Наприклад, якщо X — скінченновимірний простір, то оператор ${\displaystyle A\in L(X,Y)}$ буде цілком неперервним оператором, область його значень ${\displaystyle R(A)}$ буде скінченновимірним лінійним підпростором, і кожен такий оператор можна подати у вигляді матриці.

Неперервність і збіжні послідовності

Лінійний оператор ${\displaystyle A:X\rightarrow Y}$, що діє з лінійного топологічного простору X у лінійний топологічний простір Y, неперервний тоді й лише тоді, коли для будь-якої послідовності ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ точка X, із ${\displaystyle x_{n}\rightarrow x_{0}}$ випливає ${\displaystyle Ax_{n}\rightarrow Ax_{0}}$.

Нехай ряд ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }x_{n}=s}$ збігається і ${\displaystyle A:X\rightarrow Y}$ — лінійний неперервний оператор. Тоді виконується рівність

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }Ax_{n}=As}$.

Це означає, що до збіжних рядів у лінійних топологічних просторах лінійний оператор можна застосовувати почленно.

Якщо X, Y — банахові простори, то неперервний оператор переводить кожну слабко збіжну послідовність у слабко збіжну:

якщо ${\displaystyle x_{n}\to x}$ слабке, то ${\displaystyle Ax_{n}\to Ax}$ слабке.

Пов'язані визначення

• Лінійний оператор називають обмеженим знизу, якщо ${\displaystyle \exists k>0,\forall x\in X,\|Ax\|\geq k\|x\|}$.

Див. також

• Спряжений оператор

Література

• Функциональный анализ. — М. : Наука, 1980. — 495 с.
• Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. — М. : , 1963. — 264 с.
• Шилов Г.Е. Математический анализ (функции одного переменного), часть 3. — М. : Наука, 1970. — 352 с.

Примітки

1. Лінійні неперервні функціонали мають специфічні властивості, які відсутні в загальному випадку, і породжують особливі математичні структури, тому теорію лінійних неперервних функціоналів розглядають окремо від загальної теорії.
2. Наймарк М. А. Нормированные кольца. — М. : Наука, 1968. — С. 98. з джерела 2 жовтня 2021
3. Також, у скінченновимірному просторі ${\displaystyle X}$ із базисом ${\displaystyle \{x_{k}\}_{k=1}^{n}}$, лінійний неперервний оператор ${\displaystyle A}$ можна подати у вигляді ${\displaystyle Ax=f_{1}(x)x_{1}+f_{2}(x)x_{2}+\cdots +f_{n}(x)x_{n},\forall x\in X}$, де ${\displaystyle f_{k}\in X^{*}}$ — функції зі .