Лінеаризáція — (лат. linearis — лінійний), один з методів наближеного подання нелінійних систем, при якому дослідження нелінійної системи замінюється аналізом лінійної системи, в деякому розумінні еквівалентної початковій. Методи лінеаризації мають обмежений характер, тобто еквівалентність початкової нелінійної системи і її лінійного наближення зберігається лише при певному «режимі» роботи системи, а якщо система переходить з одного режиму роботи на іншій, то слід змінити і її лінеаризировану модель. Застосовуючи лінеаризацію, можна з'ясувати багато якісних і особливо кількісних властивостей нелінійної системи.
Лінеаризація функції
Лінеаризація функції — це дієвий метод для наближеного обчислення значення функції в будь-якій беручи за основу нахил функції в , за умови неперервності на (або ) і того, що достатньо близько до . Коротко, лінеаризація обчислює наближене значення функції біля .
Наприклад, . Однак, що буде хорошим наближенням для ?
Будь-яку функцію можна лінеаризувати якщо вона неперервна біля цікавої нам точки. Для лінеаризації функції в точці виконується . Загальною формою рівняння в околі точки при нахилі є: .
Використовуючи точку , набуває вигляду . Бо неперервні функції є локально лінійні, найкращим нахилом для підстановки буде нахил дотичної до у .
Візуально, на зображені показана дотична лінії для у . В , де є будь-яким достатньо малим по модулю значенням, дуже близьке до значення на дотичній в точці .
У результаті отримуємо рівняння для лінеаризації функції в :
Приклад
Щоб знайти , ми можемо використати те, що . Лінеаризацією в є , бо функція визначає нахил функції в . При , лінеаризація в 4 є . У цьому випадку , отже це приблизно . Справжнє значення близьке до 2.00024998.
Лінеаризація функції багатьох змінних
Рівняння для лінеаризації функції в точці таке:
Узагальнене рівняння для лінеаризації функції багатьох змінних у точці таке:
де є вектором змінних і точка в якій ми лінеаризуємо.
Лінеаризація нелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь
Лінеаризація дає можливість розглядати нелінійну систему як лінійну в деякому обмеженому сенсі і таким чином аналізувати її поведінку в околі цікавих нам точок. Зазвичай це критичні точки, тобто такі, де Лінеаризація функції це доданок першого порядку з ряду Тейлора біля точки. Отже для системи визначеної рівнянням
- ,
лінеаризовану систему можна записати як
де це цікава нам точка і це якобіан evaluated at .
Якщо точка критична, то рівняння набуває вигляду
Примітки
- (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 7 червня 2010. Процитовано 1 червня 2014.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Linearizaciya lat linearis linijnij odin z metodiv nablizhenogo podannya nelinijnih sistem pri yakomu doslidzhennya nelinijnoyi sistemi zaminyuyetsya analizom linijnoyi sistemi v deyakomu rozuminni ekvivalentnoyi pochatkovij Metodi linearizaciyi mayut obmezhenij harakter tobto ekvivalentnist pochatkovoyi nelinijnoyi sistemi i yiyi linijnogo nablizhennya zberigayetsya lishe pri pevnomu rezhimi roboti sistemi a yaksho sistema perehodit z odnogo rezhimu roboti na inshij to slid zminiti i yiyi linearizirovanu model Zastosovuyuchi linearizaciyu mozhna z yasuvati bagato yakisnih i osoblivo kilkisnih vlastivostej nelinijnoyi sistemi Linearizaciya funkciyiLinearizaciya funkciyi ce diyevij metod dlya nablizhenogo obchislennya znachennya funkciyi y f x displaystyle y f x v bud yakij x a displaystyle x a beruchi za osnovu nahil funkciyi v x b displaystyle x b za umovi neperervnosti f x displaystyle f x na a b displaystyle a b abo b a displaystyle b a i togo sho a displaystyle a dostatno blizko do b displaystyle b Korotko linearizaciya obchislyuye nablizhene znachennya funkciyi bilya x a displaystyle x a Napriklad 4 2 displaystyle sqrt 4 2 Odnak sho bude horoshim nablizhennyam dlya 4 001 4 001 displaystyle sqrt 4 001 sqrt 4 001 Bud yaku funkciyu y f x displaystyle y f x mozhna linearizuvati yaksho vona neperervna bilya cikavoyi nam tochki Dlya linearizaciyi L a x displaystyle L a x funkciyi f x displaystyle f x v tochci x a displaystyle x a vikonuyetsya L a a f a displaystyle L a a f a Zagalnoyu formoyu rivnyannya v okoli tochki y 0 x 0 displaystyle y 0 x 0 pri nahili M displaystyle M ye y y 0 M x x 0 displaystyle y y 0 M x x 0 Vikoristovuyuchi tochku a f a displaystyle a f a L a x displaystyle L a x nabuvaye viglyadu y f a M x a displaystyle y f a M x a Bo neperervni funkciyi ye lokalno linijni najkrashim nahilom dlya pidstanovki bude nahil dotichnoyi do f x displaystyle f x u x a displaystyle x a Nablizhennya dlya f x x 2 u x f x Vizualno na zobrazheni pokazana dotichna liniyi dlya f x displaystyle f x u x displaystyle x V x h displaystyle x h de h displaystyle h ye bud yakim dostatno malim po modulyu znachennyam f x h displaystyle f x h duzhe blizke do znachennya na dotichnij v tochci x h L x h displaystyle x h L x h U rezultati otrimuyemo rivnyannya dlya linearizaciyi funkciyi v x a displaystyle x a y f a f a x a displaystyle y f a f a x a PrikladShob znajti 4 001 displaystyle sqrt 4 001 mi mozhemo vikoristati te sho 4 2 displaystyle sqrt 4 2 Linearizaciyeyu f x x displaystyle f x sqrt x v x a displaystyle x a ye y a 1 2 a x a displaystyle y sqrt a frac 1 2 sqrt a x a bo funkciya f x 1 2 x displaystyle f x frac 1 2 sqrt x viznachaye nahil funkciyi f x x displaystyle f x sqrt x v x displaystyle x Pri a 4 displaystyle a 4 linearizaciya v 4 ye y 2 x 4 4 displaystyle y 2 frac x 4 4 U comu vipadku x 4 001 displaystyle x 4 001 otzhe 4 001 displaystyle sqrt 4 001 ce priblizno 2 4 001 4 4 2 00025 displaystyle 2 frac 4 001 4 4 2 00025 Spravzhnye znachennya blizke do 2 00024998 Linearizaciya funkciyi bagatoh zminnihRivnyannya dlya linearizaciyi funkciyi f x y displaystyle f x y v tochci p a b displaystyle p a b take f x y f a b f x y x a b x a f x y y a b y b displaystyle f x y approx f a b left frac partial f x y partial x right a b x a left frac partial f x y partial y right a b y b Uzagalnene rivnyannya dlya linearizaciyi funkciyi bagatoh zminnih f x displaystyle f mathbf x u tochci p displaystyle mathbf p take f x f p f p x p displaystyle f mathbf x approx f mathbf p left nabla f right mathbf p cdot mathbf x mathbf p de x displaystyle mathbf x ye vektorom zminnih i p displaystyle mathbf p tochka v yakij mi linearizuyemo Linearizaciya nelinijnih sistem zvichajnih diferencialnih rivnyanLinearizaciya daye mozhlivist rozglyadati nelinijnu sistemu yak linijnu v deyakomu obmezhenomu sensi i takim chinom analizuvati yiyi povedinku v okoli cikavih nam tochok Zazvichaj ce kritichni tochki tobto taki de F x t 0 displaystyle mathbf F mathbf x t 0 Linearizaciya funkciyi ce dodanok pershogo poryadku z ryadu Tejlora bilya tochki Otzhe dlya sistemi viznachenoyi rivnyannyam d x d t F x t displaystyle frac d mathbf x dt mathbf F mathbf x t linearizovanu sistemu mozhna zapisati yak d x d t F x 0 t D F x 0 t x x 0 displaystyle frac d mathbf x dt mathbf F mathbf x 0 t D mathbf F mathbf x 0 t cdot mathbf x mathbf x 0 de x 0 displaystyle mathbf x 0 ce cikava nam tochka i D F x 0 displaystyle D mathbf F mathbf x 0 ce yakobian F x displaystyle mathbf F mathbf x evaluated at x 0 displaystyle mathbf x 0 Yaksho tochka x 0 displaystyle mathbf x 0 kritichna to rivnyannya nabuvaye viglyadu d x d t J F x 0 t x x 0 displaystyle frac d mathbf x dt mathbf J F mathbf x 0 t cdot mathbf x mathbf x 0 Primitki PDF Arhiv originalu PDF za 7 chervnya 2010 Procitovano 1 chervnya 2014