В алгебрі, континуанта —це многочлен, що представляє визначник тридіагональної матриці і застосовується в .
Означення
n-а континуанта рекурсивно визначається так
Властивості
- Континуанту можна обчислити взявши суму всіх можливих добутків x1,...,xn, в яких вилучена будь-яка кількість неперетинних пар послідовних елементів (Правило Ейлера). Наприклад,
- З цього випливає, що континуанти інваріантні щодо обернення порядку невідомих:
- Континуанту можна обчислити як визначник тридіагональної матриці:
- , це (n+1)-ше число Фібоначчі.
- Співвідношення континуант представляє (підхідні дроби) неперервний дріб так:
- Виконується така матрична тотожність:
- .
- Для визначників це означає, що
- і також
Узагальнення
Узагальнене визначення визначає континуанту за допомогою трьох послідовностей a, b і c, так що K(n) є многочленом від a1,...,an, b1,...,bn−1 і c1,...,cn−1. Тут рекурентне співвідношення набуває вигляду
Оскільки br і cr входять в K лише як добуток brcr, то без втрати загальності можна вважати, що всі br рівні 1.
Узагальнена котинуанта є визначником тридіагональної матриці
References
- Thomas Muir (1960). A treatise on the theory of determinants. . с. 516–525.
- Cusick, Thomas W.; Flahive, Mary E. (1989). The Markoff and Lagrange Spectra. Mathematical Surveys and Monographs. Т. 30. Providence, RI: American Mathematical Society. с. 89. ISBN . Zbl 0685.10023.
- George Chrystal (1999). Algebra, an Elementary Text-book for the Higher Classes of Secondary Schools and for Colleges: Pt. 1. American Mathematical Society. с. 500. ISBN .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V algebri kontinuanta ce mnogochlen sho predstavlyaye viznachnik tridiagonalnoyi matrici i zastosovuyetsya v Oznachennyan a kontinuanta K n x 1 x 2 x n displaystyle K n x 1 x 2 ldots x n rekursivno viznachayetsya tak K 0 1 displaystyle K 0 1 K 1 x 1 x 1 displaystyle K 1 x 1 x 1 K n x 1 x 2 x n x n K n 1 x 1 x 2 x n 1 K n 2 x 1 x 2 x n 2 displaystyle K n x 1 x 2 ldots x n x n K n 1 x 1 x 2 ldots x n 1 K n 2 x 1 x 2 ldots x n 2 VlastivostiKontinuantu K n x 1 x 2 x n displaystyle K n x 1 x 2 ldots x n mozhna obchisliti vzyavshi sumu vsih mozhlivih dobutkiv x1 xn v yakih viluchena bud yaka kilkist neperetinnih par poslidovnih elementiv Pravilo Ejlera Napriklad K 5 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 3 x 4 x 5 x 1 x 4 x 5 x 1 x 2 x 5 x 1 x 2 x 3 x 1 x 3 x 5 displaystyle K 5 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 3 x 4 x 5 x 1 x 4 x 5 x 1 x 2 x 5 x 1 x 2 x 3 x 1 x 3 x 5 Z cogo viplivaye sho kontinuanti invariantni shodo obernennya poryadku nevidomih K n x 1 x n K n x n x 1 displaystyle K n x 1 ldots x n K n x n ldots x 1 Kontinuantu mozhna obchisliti yak viznachnik tridiagonalnoyi matrici K n x 1 x 2 x n det x 1 1 0 0 1 x 2 1 0 1 0 1 0 0 1 x n displaystyle K n x 1 x 2 ldots x n det begin pmatrix x 1 amp 1 amp 0 amp cdots amp 0 1 amp x 2 amp 1 amp ddots amp vdots 0 amp 1 amp ddots amp ddots amp 0 vdots amp ddots amp ddots amp ddots amp 1 0 amp cdots amp 0 amp 1 amp x n end pmatrix K n 1 1 F n 1 displaystyle K n 1 ldots 1 F n 1 ce n 1 she chislo Fibonachchi K n x 1 x n K n 1 x 2 x n x 1 K n 2 x 3 x n K n 1 x 2 x n displaystyle frac K n x 1 ldots x n K n 1 x 2 ldots x n x 1 frac K n 2 x 3 ldots x n K n 1 x 2 ldots x n Spivvidnoshennya kontinuant predstavlyaye pidhidni drobi neperervnij drib tak K n x 1 x n K n 1 x 2 x n x 1 x 2 x n x 1 1 x 2 1 x 3 displaystyle frac K n x 1 ldots x n K n 1 x 2 ldots x n x 1 x 2 ldots x n x 1 frac 1 displaystyle x 2 frac 1 x 3 ldots Vikonuyetsya taka matrichna totozhnist K n x 1 x n K n 1 x 1 x n 1 K n 1 x 2 x n K n 2 x 2 x n 1 x 1 1 1 0 x n 1 1 0 displaystyle begin pmatrix K n x 1 ldots x n amp K n 1 x 1 ldots x n 1 K n 1 x 2 ldots x n amp K n 2 x 2 ldots x n 1 end pmatrix begin pmatrix x 1 amp 1 1 amp 0 end pmatrix times ldots times begin pmatrix x n amp 1 1 amp 0 end pmatrix Dlya viznachnikiv ce oznachaye sho K n x 1 x n K n 2 x 2 x n 1 K n 1 x 1 x n 1 K n 1 x 2 x n 1 n displaystyle K n x 1 ldots x n cdot K n 2 x 2 ldots x n 1 K n 1 x 1 ldots x n 1 cdot K n 1 x 2 ldots x n 1 n i takozh K n 1 x 2 x n K n 2 x 1 x n 2 K n x 1 x n K n 1 x 2 x n 2 1 n 1 x n 2 displaystyle K n 1 x 2 ldots x n cdot K n 2 x 1 ldots x n 2 K n x 1 ldots x n cdot K n 1 x 2 ldots x n 2 1 n 1 x n 2 UzagalnennyaUzagalnene viznachennya viznachaye kontinuantu za dopomogoyu troh poslidovnostej a b i c tak sho K n ye mnogochlenom vid a1 an b1 bn 1 i c1 cn 1 Tut rekurentne spivvidnoshennya nabuvaye viglyadu K 0 1 displaystyle K 0 1 K 1 a 1 displaystyle K 1 a 1 K n a n K n 1 b n 1 c n 1 K n 2 displaystyle K n a n K n 1 b n 1 c n 1 K n 2 Oskilki br i cr vhodyat v K lishe yak dobutok brcr to bez vtrati zagalnosti mozhna vvazhati sho vsi br rivni 1 Uzagalnena kotinuanta ye viznachnikom tridiagonalnoyi matrici a 1 b 1 0 0 0 c 1 a 2 b 2 0 0 0 c 2 a 3 0 0 0 0 0 a n 1 b n 1 0 0 0 c n 1 a n displaystyle begin pmatrix a 1 amp b 1 amp 0 amp ldots amp 0 amp 0 c 1 amp a 2 amp b 2 amp ldots amp 0 amp 0 0 amp c 2 amp a 3 amp ldots amp 0 amp 0 vdots amp vdots amp vdots amp ddots amp vdots amp vdots 0 amp 0 amp 0 amp ldots amp a n 1 amp b n 1 0 amp 0 amp 0 amp ldots amp c n 1 amp a n end pmatrix ReferencesThomas Muir 1960 A treatise on the theory of determinants s 516 525 Cusick Thomas W Flahive Mary E 1989 The Markoff and Lagrange Spectra Mathematical Surveys and Monographs T 30 Providence RI American Mathematical Society s 89 ISBN 0 8218 1531 8 Zbl 0685 10023 George Chrystal 1999 Algebra an Elementary Text book for the Higher Classes of Secondary Schools and for Colleges Pt 1 American Mathematical Society s 500 ISBN 0 8218 1649 7