Коефіцієнт скінченних різниць

В математиці, щоб отримати наближення похідної до якогось певного порядку точності, можна використовувати скінченні різниці. Різницеві формули можуть бути центральні та зміщені вправо чи вліво.

Коефіцієнти центральних скінченних різниць

Наступна таблиця містить коефіцієнти центральних різниць для кількох порядків точності. Існує також рекурсивна процедура, що дозволяє генерувати такі коефіцієнти автоматично

Похідна	Точність	−4	−3	−2	−1	0	1	2	3	4
1	2				−1/2	0	1/2
	4			1/12	−2/3	0	2/3	−1/12
	6		−1/60	3/20	−3/4	0	3/4	−3/20	1/60
	8	1/280	−4/105	1/5	−4/5	0	4/5	−1/5	4/105	−1/280
2	2				1	−2	1
	4			−1/12	4/3	−5/2	4/3	−1/12
	6		1/90	−3/20	3/2	−49/18	3/2	−3/20	1/90
	8	−1/560	8/315	−1/5	8/5	−205/72	8/5	−1/5	8/315	−1/560
3	2			−1/2	1	0	−1	1/2
	4		1/8	−1	13/8	0	−13/8	1	−1/8
	6	−7/240	3/10	−169/120	61/30	0	−61/30	169/120	−3/10	7/240
4	2			1	−4	6	−4	1
	4		−1/6	2	−13/2	28/3	−13/2	2	−1/6
	6	7/240	−2/5	169/60	−122/15	91/8	−122/15	169/60	−2/5	7/240
5	2		−1/2	2	−5/2	0	5/2	−2	1/2
6	2		1	−6	15	−20	15	−6	1

Наприклад, похідна третього порядку в другому порядку точності буде обчислена як

${\displaystyle \displaystyle f'''(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {-{\frac {1}{2}}f(x_{-2})+f(x_{-1})-f(x_{+1})+{\frac {1}{2}}f(x_{+2})}{h_{x}^{3}}}+O\left(h_{x}^{2}\right)}$

де ${\displaystyle h_{x}}$ це розмір кроку уніформної сітки між різницевими інтервалами.

Коефіцієнти правих і лівих скінченних різниць

Таблиця містить коефіцієнти правих різниць для кількох порядків точності

Похідна	Точність	0	1	2	3	4	5	6	7	8
1	1	−1	1
	2	−3/2	2	−1/2
	3	−11/6	3	−3/2	1/3
	4	−25/12	4	−3	4/3	−1/4
	5	−137/60	5	−5	10/3	−5/4	1/5
	6	−49/20	6	−15/2	20/3	−15/4	6/5	−1/6
2	1	1	−2	1
	2	2	−5	4	−1
	3	35/12	−26/3	19/2	−14/3	11/12
	4	15/4	−77/6	107/6	−13	61/12	−5/6
	5	203/45	−87/5	117/4	−254/9	33/2	−27/5	137/180
	6	469/90	−223/10	879/20	−949/18	41	−201/10	1019/180	−7/10
3	1	−1	3	−3	1
	2	−5/2	9	−12	7	−3/2
	3	−17/4	71/4	−59/2	49/2	−41/4	7/4
	4	−49/8	29	−461/8	62	−307/8	13	−15/8
	5	−967/120	638/15	−3929/40	389/3	−2545/24	268/5	−1849/120	29/15
	6	−801/80	349/6	−18353/120	2391/10	−1457/6	4891/30	−561/8	527/30	−469/240
4	1	1	−4	6	−4	1
	2	3	−14	26	−24	11	−2
	3	35/6	−31	137/2	−242/3	107/2	−19	17/6
	4	28/3	−111/2	142	−1219/6	176	−185/2	82/3	−7/2
	5	1069/80	−1316/15	15289/60	−2144/5	10993/24	−4772/15	2803/20	−536/15	967/240

Наприклад, перша похідна третього порядку точності

${\displaystyle \displaystyle f'(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {-{\frac {11}{6}}f(x_{0})+3f(x_{+1})-{\frac {3}{2}}f(x_{+2})+{\frac {1}{3}}f(x_{+3})}{h_{x}}}+O\left(h_{x}^{3}\right),}$

а друга похідна другого порядку точності

${\displaystyle \displaystyle f''(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {2f(x_{0})-5f(x_{+1})+4f(x_{+2})-f(x_{+3})}{h_{x}^{2}}}+O\left(h_{x}^{2}\right),}$

У випадку наближення цих похідних, але з допомогою лівих різниць отримаємо

${\displaystyle \displaystyle f'(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {{\frac {11}{6}}f(x_{0})-3f(x_{-1})+{\frac {3}{2}}f(x_{-2})-{\frac {1}{3}}f(x_{-3})}{h_{x}}}+O\left(h_{x}^{3}\right),}$

${\displaystyle \displaystyle f''(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {2f(x_{0})-5f(x_{-1})+4f(x_{-2})-f(x_{-3})}{h_{x}^{2}}}+O\left(h_{x}^{2}\right),}$

В загальному, щоб отримати коефіцієнти лівих різниць, потрібно для всіх похідних непарного порядку змінити знак коефіцієнтів на протилежний, а для похідних парного порядку знак не змінюється. Таблиця для ілюстрації:

Похідна	Точність	−8	−7	−6	−5	−4	−3	−2	−1	0
1	1								−1	1
	2							1/2	−2	3/2
2	1							1	−2	1
	2						−1	4	−5	2
3	1						−1	3	−3	1
	2					3/2	−7	12	−9	5/2
4	1					1	−4	6	−4	1
	2				−2	11	−24	26	−14	3

Див. також

• Скінченні різниці
• Чисельне диференціювання

Примітки

1. Fornberg, Bengt (1988), Generation of Finite Difference Formulas on Arbitrarily Spaced Grids, , 51 (184): 699—706, doi:10.1090/S0025-5718-1988-0935077-0, ISSN 0025-5718.