Квантування Дірака

Квантування Дірака (англ. Dirac Quantization) в системі СГС має вигляд:

${\displaystyle {\frac {eg}{2\pi \hbar c}}=n=integer}$,

де ${\displaystyle e-}$ заряд електрона, ${\displaystyle g-}$ елементарний магнітний заряд, ${\displaystyle \hbar -}$ приведена стала Планка та ${\displaystyle c-}$ швидкість світла у вакуумі.

Виведення умови квантування Дірака для магнітного монополя

Поле, створене магнітним монополем, може бути описано векторним-потенціалом ${\displaystyle A_{\mu }}$. Якщо допустити існування стрибка ${\displaystyle \mathbf {A_{\mu }} }$ на деякій (довільній) поверхні ${\displaystyle S}$, яка перетинає магнітний монополь і ділить простір на дві зв'язні частини. Тоді напруженість поля неперервна на поверхні ${\displaystyle S}$ всюди, крім точки розташування магнітного монополя, а сама поверхня може бути довільним чином деформована за допомогою калібрувальних перетворень. Циркуляція стрибка ${\displaystyle \mathbf {A} }$ на будь-якому , що лежить на ${\displaystyle S}$ і захвачує магнітний монополь, рівна магнітному потоку, який витікає з магнітного монополя, тобто є рівна (згідно з теоремою Гауса) заряду ${\displaystyle g}$. від 4-вектора ${\displaystyle \mathbf {A} }$ дає вклад в фазу ${\displaystyle \phi }$ хвильової функції електрично зарядженої частки, і стрибок ${\displaystyle \phi }$, який відповідає стрибку ${\displaystyle \mathbf {A_{\mu }} }$ на поверхні ${\displaystyle S}$, рівний ${\displaystyle \Delta \phi =eg/\hbar c}$. При виконанні умови Дірака

${\displaystyle \Delta \phi ={\frac {eg}{\hbar c}}=2\pi n}$,

хвильова функція є неперервною у всьому просторі. До того ж стрибок ${\displaystyle \mathbf {A_{\mu }} }$ не дає вкладу в напруженість магнітного поля, яка визначається законом Кулона, і тому поверхня ${\displaystyle S}$ є неспостережна. Як цю поверхню можна вибрати конус, що прямує до нескінченності, на вершині якого і знаходиться магнітний монополь, а кут при вершині є досить малим («струна», плі «нитка», Дірака).

Можна показати (Тамм, 1931), що ефект магнітного монополя зводиться до заміни ${\displaystyle l(l+1)}$ на ${\displaystyle l(l+1)-1/4n^{2}}$ (n — ціле число в умові Дірака) у відцентровому потенціалі радіального рівняння Шредінгера, при цьому орбіт, (кутовий момент) ${\displaystyle l}$ може приймати значення:

${\displaystyle l_{n}={\frac {1}{2}}|n|;{\frac {1}{2}}|n|+1;{\frac {1}{2}}|n|+2;...}$.

${\displaystyle l_{1}=1/2;3/2;5/2;...}$ при ${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle l_{2}=1;2;3;...}$ при ${\displaystyle n=2}$

${\displaystyle l_{3}=3/2;5/2;7/2;...}$ при ${\displaystyle n=3}$

${\displaystyle l_{4}=2;3;4;...}$ при ${\displaystyle n=4}$.

Виглядає досить дивним, проте ці дробові числа збігаються з т.з. числами заповнення рівнів Ландау в квантовому ефекті Хола, котрий на перший погляд не має ніякого відношення до монополів Дірака (сучасна теорія КЕХ враховує тільки квантування магнітного поля, а електричне поле просто ігнорується).

Слід відзначити, що при непарному n, система з двох безспінових часток завдяки ненульовій дивергенції магнітного поля має напівцілий кутовий момент. Таким чином, з двох бозонів із ненульовими повними електричним та магнітним зарядами створюється діон, який підкоряється статистиці Фермі — Дірака. Аналогічним чином, зв'язаний стан бозона та ферміона може бути бозоном.

Див. також

• Магнітний монополь
• Квантовий ефект Хола
• Ефект Аронова-Бома

Примітки

1. Янг і ^[en] Physical Review D 13, 3233-3236 (1976)
2. И. Е. Тамм совместно с С. П. Шубиным «К теории фотоэффекта на металлах» 1931