Azərbaycanca
Беларускі
Dansk
Deutsch
Española
Français
Indonesia
Italiana
日本語
Қазақ
Lietuvos
Nederlands
Português
Русский
සිංහල
แบบไทย
Türkçe
Українська
中國人
United State
Afrikaans
Квадрування квадрата — задача про розбиття квадрата на кінцеве число менших квадратів. У більш вузькому сенсі — задача про розбиття квадрата на кінцеве число попарно нерівних між собою квадратів.
У 1936–1938 роках задачу розв'язали чотири студенти Кембриджського університету.
Термінологія
- Квадрат, розбитий на попарно нерівні квадрати, називається досконалим.
- Порядком квадрата, розбитого на складові квадрати, називається число складових його квадратів.
- Розбиття квадрата, ніяка підмножина квадратів якого не утворює прямокутник (не рахуючи окремих квадратів), називається простим.
Діаграма Сміта
Ключову роль у вирішенні задачі квадрування зіграло пропозицію для аналізу діаграми, названої діаграмою Сміта, яка будь-якому розбиттю квадрата (або прямокутника) ставить у відповідність еквівалентний електричний ланцюгЕлектричне коло. Кожному горизонтальному відрізку на схемі розбиття квадрата відповідає «клема» цього ланцюга, а кожному квадрату розбиття — провідник, що з'єднує дві «клеми». Сила струму, поточного по провіднику, дорівнює довжині сторони відповідного квадрата. Якщо вважати опір кожного провідника рівним одиниці, така електричний ланцюг поводиться як «справжня» і підпорядковується правилам Кірхгофа для струмів в ланцюзі. Це дозволило застосовувати для вирішення задачі квадрування добре розроблену теорію електричних ланцюгів.
Історія
- Найперші знайдені Бруксом, Смітом, Стоуном і Таттом вчинені квадрати були 69-го порядку.
- У 1939 році Р. Шпраг (R. Sprague) знайшов досконалий квадрат 55-го порядку, це було перше опубліковане рішення для досконалого квадрата. Пізніше Т. Г. Уіллкокс (TH Willcocks) знайшов досконалий квадрат 24-го порядку, який довгий час тримав рекорд малості порядку.
- У 1978 році голландський математик А. Й. В. Дуйвестейн (AJW Duijvestijn) за допомогою комп'ютера знайшов розбиття квадрата на 21 квадрат, серед яких немає рівних (див. Рис.). Він так само довів, що:
- не існує досконалого квадрата меншого порядку;
- знайдене ним розбиття — єдино можливе для розбиття 21-го порядку.
Кубування куба
«Кубування куба», тобто розбиття куба на кінцеве число попарно нерівних між собою кубів неможливо. Доказ цього факту було дано Бруксом, Смітом, Стоуном і Таттом.
Доказ. Припустимо, що шукане розбиття куба існує. Розглянемо одну з граней куба, очевидно, не зменшуючи спільність, можна вибрати нижню грань. На нижній грані стоять різновеликі куби, своїми нижніми ребрами розбивають грань на різновеликі квадрати.
Знайдемо найменший квадрат розбиття нижньої межі. Зрозуміло, що цей квадрат не може примикати до ребра куба, будучи обмежений сторонами великих квадратів, отже, він повинен розташовуватися десь всередині грані.
Тепер розглянемо верхню межу цього малого кубика. Оскільки за припущенням це самий маленький кубик на нижній грані куба, він оточений більш високими кубами. Тому на його верхню грані не заступає жоден сусідній куб. Отже, що стоять на цій межі кубики меншого розміру знову розбивають верхню межу цього кубика на різновеликі квадрати, причому найменший квадрат розбиття верхній грані розглянутого кубика знову не може належати ребру кубика і знаходиться всередині грані.
Продовжуючи цей процес міркування, приходимо до протиріччя, що доводить теорему.
Також легко доводиться теорема про неможливість «гіперкубування гіперкуба» для гіперкубів будь-якої розмірності, більшої від 3-х. Дійсно, для будь-якої розмірності n гіперкуби розбиття, прилеглі до якої-небудь (n—1)-вимірної гіперграні вихідного гіперкуба, повинні розбивати цю гіпергрань на скінченне число попарно нерівних (n—1)-вимірних гіперкубів. При n=4 «гіперкубування» неможливе, оскільки має породжувати «кубування» 3-вимірних гіперграней вихідного 4-вимірного гіперкуба. Індукцією за n можна зробити висновок про неможливість «гіперкубування» для всіх n>3.
Література
- Гарднер М., Математические головоломки и развлечения. Пер. с английского Ю. Данилова. Изд. «Оникс», Москва, 1994, стр. 305–326.
- Яглом И. М. Как разрезать квадрат [ 27 Січня 2021 у Wayback Machine.] серия «Математическая библиотечка» М., Наука, 1968–112 с.
- Bouwkamp C. J., Duijvestijn A. J. W. Catalogue of Simple Perfect Squared Squares of Orders 21 Through 25, Eindhoven Univ. Technology, Dept. of Math., Report 92-WSK-03, Nov. 1992.
- Bouwkamp C. J., Duijvestijn A. J. W. Album of Simple Perfect Squared Squares of order 26, Eindhoven University of Technology, Faculty of Mathematics and Computing Science, EUT Report 94-WSK-02, December 1994.
- Brooks, R. L., Smith C. A. B., Stone, A. H., Tutte, W. T. The Dissection of Rectangles into Squares, Duke Math. J. 7, 312–340, 1940
- Gardner Martin, Squaring the square, in The 2nd Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions.
- Meschkowski H. Unsolved and Unsolvable Problems in Geometry, Oliver and Boyd, 1966, Edinburgh, pp. 9—102.
- Stein S. Mathematics: The Man-Made Universe, (2nd ed.) Freeman and Co., 1969, San Francisco, pp. 92—124.
- Tutte W. Squaring the Square, Canadian journal of Mathematics, 1950, pp.197—209.
- Tutte W. The Quest of the Perfect Square, The American Mathematical Monthly, 1965, Vol. 72, No. 2, pp. 29—35.
Примітки
- Brooks, R.
Посилання
- http://www.math.uwaterloo.ca/navigation/ideas/articles/honsberger2/index.shtml [ 16 Жовтня 2015 у Wayback Machine.]
- http://www.stat.ualberta.ca/people/schmu/preprints/sq.pdf [ 24 Вересня 2015 у Wayback Machine.]
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Kvadruvannya kvadrata zadacha pro rozbittya kvadrata na kinceve chislo menshih kvadrativ U bilsh vuzkomu sensi zadacha pro rozbittya kvadrata na kinceve chislo poparno nerivnih mizh soboyu kvadrativ Rozbittya kvadrata na 21 kvadrat sered yakih nemaye rivnih Cifra vseredini kozhnogo kvadrata oznachaye dovzhinu jogo storoni Vidpovidno dovzhina storoni velikogo kvadrata dorivnyuye skladayuchi dovzhini storin krajnih kvadrativ 50 35 27 50 29 33 33 37 42 27 19 24 42 112 U 1936 1938 rokah zadachu rozv yazali chotiri studenti Kembridzhskogo universitetu TerminologiyaKvadrat rozbitij na poparno nerivni kvadrati nazivayetsya doskonalim Poryadkom kvadrata rozbitogo na skladovi kvadrati nazivayetsya chislo skladovih jogo kvadrativ Rozbittya kvadrata niyaka pidmnozhina kvadrativ yakogo ne utvoryuye pryamokutnik ne rahuyuchi okremih kvadrativ nazivayetsya prostim Diagrama SmitaDiagrama Smita dlya pryamokutnika Verhnya klema vidpovidaye verhnij storoni pryamokutnika nizhnya klema nizhnij storoni Reshta klemi vidpovidayut promizhnim gorizontalnim vidrizkam Yaksho dovzhini storoni kvadrata zistaviti silu strumu to diagrama staye elektrichnoyu shemoyu dlya yakoyi vikonuyutsya pravila Kirhgofa Napriklad dovzhina verhnoyi storoni pryamokutnika skladayetsya zi storin 6 4 5 15 sho vidpovidaye rozgaluzhennyu strumu v 15 odinic na tri proporcijni chastini Klyuchovu rol u virishenni zadachi kvadruvannya zigralo propoziciyu dlya analizu diagrami nazvanoyi diagramoyu Smita yaka bud yakomu rozbittyu kvadrata abo pryamokutnika stavit u vidpovidnist ekvivalentnij elektrichnij lancyugElektrichne kolo Kozhnomu gorizontalnomu vidrizku na shemi rozbittya kvadrata vidpovidaye klema cogo lancyuga a kozhnomu kvadratu rozbittya providnik sho z yednuye dvi klemi Sila strumu potochnogo po providniku dorivnyuye dovzhini storoni vidpovidnogo kvadrata Yaksho vvazhati opir kozhnogo providnika rivnim odinici taka elektrichnij lancyug povoditsya yak spravzhnya i pidporyadkovuyetsya pravilam Kirhgofa dlya strumiv v lancyuzi Ce dozvolilo zastosovuvati dlya virishennya zadachi kvadruvannya dobre rozroblenu teoriyu elektrichnih lancyugiv IstoriyaNajpershi znajdeni Bruksom Smitom Stounom i Tattom vchineni kvadrati buli 69 go poryadku U 1939 roci R Shprag R Sprague znajshov doskonalij kvadrat 55 go poryadku ce bulo pershe opublikovane rishennya dlya doskonalogo kvadrata Piznishe T G Uillkoks TH Willcocks znajshov doskonalij kvadrat 24 go poryadku yakij dovgij chas trimav rekord malosti poryadku U 1978 roci gollandskij matematik A J V Dujvestejn AJW Duijvestijn za dopomogoyu komp yutera znajshov rozbittya kvadrata na 21 kvadrat sered yakih nemaye rivnih div Ris Vin tak samo doviv sho ne isnuye doskonalogo kvadrata menshogo poryadku znajdene nim rozbittya yedino mozhlive dlya rozbittya 21 go poryadku Kubuvannya kuba Kubuvannya kuba tobto rozbittya kuba na kinceve chislo poparno nerivnih mizh soboyu kubiv nemozhlivo Dokaz cogo faktu bulo dano Bruksom Smitom Stounom i Tattom Dokaz Pripustimo sho shukane rozbittya kuba isnuye Rozglyanemo odnu z granej kuba ochevidno ne zmenshuyuchi spilnist mozhna vibrati nizhnyu gran Na nizhnij grani stoyat riznoveliki kubi svoyimi nizhnimi rebrami rozbivayut gran na riznoveliki kvadrati Znajdemo najmenshij kvadrat rozbittya nizhnoyi mezhi Zrozumilo sho cej kvadrat ne mozhe primikati do rebra kuba buduchi obmezhenij storonami velikih kvadrativ otzhe vin povinen roztashovuvatisya des vseredini grani Teper rozglyanemo verhnyu mezhu cogo malogo kubika Oskilki za pripushennyam ce samij malenkij kubik na nizhnij grani kuba vin otochenij bilsh visokimi kubami Tomu na jogo verhnyu grani ne zastupaye zhoden susidnij kub Otzhe sho stoyat na cij mezhi kubiki menshogo rozmiru znovu rozbivayut verhnyu mezhu cogo kubika na riznoveliki kvadrati prichomu najmenshij kvadrat rozbittya verhnij grani rozglyanutogo kubika znovu ne mozhe nalezhati rebru kubika i znahoditsya vseredini grani Prodovzhuyuchi cej proces mirkuvannya prihodimo do protirichchya sho dovodit teoremu Takozh legko dovoditsya teorema pro nemozhlivist giperkubuvannya giperkuba dlya giperkubiv bud yakoyi rozmirnosti bilshoyi vid 3 h Dijsno dlya bud yakoyi rozmirnosti n giperkubi rozbittya prilegli do yakoyi nebud n 1 vimirnoyi gipergrani vihidnogo giperkuba povinni rozbivati cyu gipergran na skinchenne chislo poparno nerivnih n 1 vimirnih giperkubiv Pri n 4 giperkubuvannya nemozhlive oskilki maye porodzhuvati kubuvannya 3 vimirnih gipergranej vihidnogo 4 vimirnogo giperkuba Indukciyeyu za n mozhna zrobiti visnovok pro nemozhlivist giperkubuvannya dlya vsih n gt 3 LiteraturaGardner M Matematicheskie golovolomki i razvlecheniya Per s anglijskogo Yu Danilova Izd Oniks Moskva 1994 str 305 326 Yaglom I M Kak razrezat kvadrat 27 Sichnya 2021 u Wayback Machine seriya Matematicheskaya bibliotechka M Nauka 1968 112 s Bouwkamp C J Duijvestijn A J W Catalogue of Simple Perfect Squared Squares of Orders 21 Through 25 Eindhoven Univ Technology Dept of Math Report 92 WSK 03 Nov 1992 Bouwkamp C J Duijvestijn A J W Album of Simple Perfect Squared Squares of order 26 Eindhoven University of Technology Faculty of Mathematics and Computing Science EUT Report 94 WSK 02 December 1994 Brooks R L Smith C A B Stone A H Tutte W T The Dissection of Rectangles into Squares Duke Math J 7 312 340 1940 Gardner Martin Squaring the square in The 2nd Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions Meschkowski H Unsolved and Unsolvable Problems in Geometry Oliver and Boyd 1966 Edinburgh pp 9 102 Stein S Mathematics The Man Made Universe 2nd ed Freeman and Co 1969 San Francisco pp 92 124 Tutte W Squaring the Square Canadian journal of Mathematics 1950 pp 197 209 Tutte W The Quest of the Perfect Square The American Mathematical Monthly 1965 Vol 72 No 2 pp 29 35 PrimitkiBrooks R Posilannyahttp www math uwaterloo ca navigation ideas articles honsberger2 index shtml 16 Zhovtnya 2015 u Wayback Machine http www stat ualberta ca people schmu preprints sq pdf 24 Veresnya 2015 u Wayback Machine